Упр.1601 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1601 2sinx/(cos-cos3x) — 1/3 = 4sin2(x+пи/4).

Преобразуем левую и правую части уравнения:

$$ \frac{2\sin x}{\cos x-\cos 3x}-\frac13=4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right). $$

Используем формулы:

$$ \cos x-\cos 3x=-2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}=2\sin 2x\sin x, $$
$$ 4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=4\cdot \frac{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}=2(1+\sin 2x). $$

Тогда

$$ \frac{2\sin x}{2\sin 2x\sin x}-\frac13=2(1+\sin 2x), $$
$$ \frac{1}{\sin 2x}-\frac13=2(1+\sin 2x). $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ \frac{1}{\sin 2x}-\frac13-2-2\sin 2x=0, $$
$$ \frac{3-\sin 2x-3\sin 2x(2+2\sin 2x)}{3\sin 2x}=0. $$

Числитель равен нулю:

$$ 3-\sin 2x-6\sin 2x-6\sin^2 2x=0, $$
$$ 6\sin^2 2x+7\sin 2x-3=0. $$

Обозначим $$y=\sin 2x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$ 6y^2+7y-3=0. $$

$$ D=7^2-4\cdot 6\cdot(-3)=49+72=121, $$
$$ y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}. $$

Отсюда:

$$ y_1=\frac{1}{3}, \qquad y_2=-\frac{3}{2}. $$

Так как $$\sin 2x\in[-1;1]$$, значение $$-\frac32$$ не подходит. Значит,

$$ \sin 2x=\frac13. $$

Тогда

$$ 2x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z, $$
$$ x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z. $$

Проверим ОДЗ: $$\sin 2x\ne 0$$, то есть $$x\ne \frac{\pi n}{2}$$. Полученные значения этому не противоречат.

Ответ

$$ x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z. $$