Упр.160 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) корень 3 степени (2x+7) = корень 3 степени (3(x-1));
3) корень 4 степени (25×2-144) =x;
4) x2= корень (19×2-34).

1. $$\sqrt[3]{x-2}=2$$

   Возведём обе части в куб:
   $$x-2=2^3=8$$
   $$x=10$$

2. $$\sqrt[3]{2x+7}=\sqrt[3]{3(x-1)}$$

   Возведём обе части в куб:
   $$2x+7=3(x-1)$$
   $$2x+7=3x-3$$
   $$-x=-10$$
   $$x=10$$

3. $$\sqrt[4]{25x^2-144}=x$$

   Возведём обе части в четвёртую степень:
   $$25x^2-144=x^4$$
   $$x^4-25x^2+144=0$$

   Обозначим $$y=x^2$$. Тогда:
   $$y^2-25y+144=0$$
   $$D=25^2-4\cdot144=625-576=49$$
   $$y_{1,2}=\frac{25\pm7}{2}$$
   $$y_1=9,\quad y_2=16$$

   Тогда:
   $$x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$$
   $$x^2=16 \Rightarrow x=\pm4$$

   Проверка:
   $$\sqrt[4]{25\cdot3^2-144}=\sqrt[4]{225-144}=\sqrt[4]{81}=3$$
   $$\sqrt[4]{25\cdot4^2-144}=\sqrt[4]{400-144}=\sqrt[4]{256}=4$$
   Значит, подходят только положительные значения.

4. $$x^2=\sqrt{19x^2-34}$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$x^4=19x^2-34$$
   $$x^4-19x^2+34=0$$

   Обозначим $$y=x^2$$. Тогда:
   $$y^2-19y+34=0$$
   $$D=19^2-4\cdot34=361-136=225$$
   $$y_{1,2}=\frac{19\pm15}{2}$$
   $$y_1=2,\quad y_2=17$$

   Тогда:
   $$x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2$$
   $$x^2=17 \Rightarrow x=\pm\sqrt{17}$$

   Все найденные значения подходят.

Ответ

1) $$x=10$$; 2) $$x=10$$; 3) $$x=3,\ 4$$; 4) $$x=\pm\sqrt2,\ \pm\sqrt{17}$$.