Упр.160 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt[3]{x-2}=2$$
2. $$\sqrt[3]{2x+7}=\sqrt[3]{3(x-1)}$$
3. $$\sqrt[4]{25x^2-144}=x$$
4. $$x^2=\sqrt{19x^2-34}$$

1) $$\sqrt[3]{x-2}=2$$

Возведём обе части в куб:

$$x-2=2^3$$

$$x-2=8$$

$$x=10$$

Ответ: $$10$$

2) $$\sqrt[3]{2x+7}=\sqrt[3]{3(x-1)}$$

Так как функции кубического корня равны, то равны и подкоренные выражения:

$$2x+7=3(x-1)$$

$$2x+7=3x-3$$

$$2x-3x=-3-7$$

$$-x=-10$$

$$x=10$$

Ответ: $$10$$

3) $$\sqrt[4]{25x^2-144}=x$$

Возведём обе части в четвёртую степень:

$$25x^2-144=x^4$$

$$x^4-25x^2+144=0$$

Пусть $$y=x^2$$, тогда:

$$y^2-25y+144=0$$

$$D=25^2-4\cdot144=625-576=49$$

$$y_{1,2}=\frac{25\pm7}{2}$$

$$y_1=16,\quad y_2=9$$

Тогда:

$$x^2=16 \Rightarrow x=\pm4$$

$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$$

Проверка показывает, что подходят только положительные значения:

$$\sqrt[4]{25\cdot3^2-144}=\sqrt[4]{225-144}=\sqrt[4]{81}=3$$

$$\sqrt[4]{25\cdot4^2-144}=\sqrt[4]{400-144}=\sqrt[4]{256}=4$$

Ответ: $$3,\ 4$$

4) $$x^2=\sqrt{19x^2-34}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^4=19x^2-34$$

$$x^4-19x^2+34=0$$

Пусть $$y=x^2$$, тогда:

$$y^2-19y+34=0$$

$$D=19^2-4\cdot34=361-136=225$$

$$y_{1,2}=\frac{19\pm15}{2}$$

$$y_1=17,\quad y_2=2$$

Следовательно:

$$x^2=17 \Rightarrow x=\pm\sqrt{17}$$

$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$$

Проверка подтверждает, что все эти значения подходят.

Ответ: $$\pm\sqrt{2},\ \pm\sqrt{17}$$