Упр.16 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если:

1. $$b_1=40$$, $$b_2=-20$$;
2. $$b_7=12$$, $$b_{11}=\frac{3}{4}$$;
3. $$b_7=-30$$, $$b_6=15$$;
4. $$b_5=9$$, $$b_{10}=-\frac{1}{27}$$.

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если $$|q|<1,$$ где $$q$$ — её знаменатель.

1. $$b_1=40,\quad b_2=-20.$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-20}{40}=-\frac12.$$

   Так как $$|q|=\frac12<1,$$ прогрессия бесконечно убывающая.

   Ответ: является.

2. $$b_7=12,\quad b_{11}=\frac34.$$

   Используем формулу $$b_n=b_1q^{n-1}$$:

   $$\frac{b_{11}}{b_7}=\frac{b_1q^{10}}{b_1q^6}=q^4.$$

   Тогда

   $$q^4=\frac{b_{11}}{b_7}=\frac{\frac34}{12}=\frac{1}{16},$$

   откуда

   $$|q|=\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac12.$$

   Следовательно, $$|q|<1,$$ значит, прогрессия бесконечно убывающая.

   Ответ: является.

3. $$b_7=-30,\quad b_6=15.$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_7}{b_6}=\frac{-30}{15}=-2.$$

   Так как $$|q|=2>1,$$ прогрессия не является бесконечно убывающей.

   Ответ: не является.

4. $$b_5=9,\quad b_{10}=-\frac{1}{27}.$$

   Составим отношение:

   $$\frac{b_{10}}{b_5}=\frac{b_1q^9}{b_1q^4}=q^5.$$

   Тогда

   $$q^5=\frac{b_{10}}{b_5}=\frac{-\frac{1}{27}}{9}=-\frac{1}{243}=-\frac{1}{3^5},$$

   значит,

   $$q=-\frac13.$$

   Поскольку $$|q|=\frac13<1,$$ прогрессия бесконечно убывающая.

   Ответ: является.