Упр.1599 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos3 x — 3 cos2 x + cos x + sin 2x = 2cos(x/2 + пи/4)sin(3×2 — пи/4);
3) sin2 x + cos2 3x = 1;
4) ctg x + sin 2x = ctg 3x.

1. $$\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$$

   Тогда

   $$\cos 2x+2\cos 2x\cos x=0$$

   $$\cos 2x(1+2\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 1+2\cos x=0$$

   1) $$\cos 2x=0$$, значит

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$\cos x=-\frac12$$, значит

   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\cos^3 x-3\cos^2 x+\cos x+\sin 2x=2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$

   Преобразуем правую часть:

   $$2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2x+\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$

   Так как $$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x,$$ получаем

   $$\cos^3 x-3\cos^2 x+\cos x+\sin 2x=\sin 2x-\cos x$$

   $$\cos^3 x-3\cos^2 x+2\cos x=0$$

   $$\cos x(\cos^2 x-3\cos x+2)=0$$

   $$\cos x(\cos x-1)(\cos x-2)=0$$

   Так как $$\cos x=2$$ невозможно, остаются:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\sin^2 x+\cos^2 3x=1$$

   Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$1-\cos^2 x+\cos^2 3x=1$$

   $$\cos^2 3x-\cos^2 x=0$$

   $$(\cos 3x-\cos x)(\cos 3x+\cos x)=0$$

   Используем формулы суммы и разности косинусов:

   $$\cos 3x-\cos x=-2\sin 2x\sin x$$

   $$\cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x$$

   Тогда

   $$-4\sin 2x\sin x\cos 2x\cos x=0$$

   Отсюда достаточно рассмотреть:

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

   1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

   2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

4. $$\ctg x+\sin 2x=\ctg 3x$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\ctg 3x-\ctg x=\sin 2x$$

   Используем формулу:

   $$\ctg 3x-\ctg x=\frac{\sin(x-3x)}{\sin 3x\sin x}=-\frac{\sin 2x}{\sin 3x\sin x}$$

   Тогда

   $$-\frac{\sin 2x}{\sin 3x\sin x}=\sin 2x$$

   Область допустимых значений:

   $$\sin x\ne 0,\quad \sin 3x\ne 0$$

   Получаем

   $$-\sin 2x\,(1+\sin 3x\sin x)=0$$

   1) $$\sin 2x=0$$. С учётом ОДЗ остаются решения

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$1+\sin 3x\sin x=0$$ даёт

   $$\sin x\sin 3x=-1$$

   $$\frac12(\cos 2x-\cos 4x)=-1$$

   $$\cos 2x-\cos 4x=-2$$

   После преобразований получаем

   $$\left(\cos 2x-\frac14\right)^2=\frac{25}{16}$$

   $$\cos 2x=-1 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac32$$

   Второе невозможно, значит

   $$\cos 2x=-1 \Rightarrow 2x=\pi+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ 2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$