Упр.1599 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$$
2. $$\cos^3 x-3\cos^2 x+\cos x+\sin 2x=2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$
3. $$\sin^2 x+\cos^2 3x=1$$
4. $$\operatorname{ctg}x+\sin 2x=\operatorname{ctg}3x$$

1) $$\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда

$$\cos 2x+2\cos 2x\cos x=0,$$

$$\cos 2x(1+2\cos x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos^3 x-3\cos^2 x+\cos x+\sin 2x=2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$

$$\cos^3 x-3\cos^2 x+\cos x+\sin 2x=\cos x(\cos^2 x-3\cos x+2)+2\sin x\cos x.$$

Сгруппируем:

$$\cos^3 x-3\cos^2 x+\cos x+\sin 2x=\cos x(\cos^2 x-3\cos x+2+2\sin x).$$

Удобнее заметить, что выражение сводится к

$$\cos x(\cos^2 x-3\cos x+2)=0.$$

Тогда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos^2 x-3\cos x+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$\cos^2 x-3\cos x+2=(\cos x-1)(\cos x-2)=0.$$

Так как $$\cos x=2$$ невозможно, остаётся

$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

А из $$\cos x=0$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin^2 x+\cos^2 3x=1.$$

Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$1-\cos^2 x+\cos^2 3x=1,$$

$$\cos^2 3x-\cos^2 x=0,$$

$$(\cos 3x-\cos x)(\cos 3x+\cos x)=0.$$

Используем формулы:

$$\cos 3x-\cos x=-2\sin 2x\sin x,$$

$$\cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда

$$-4\sin 2x\sin x\cos 2x\cos x=0,$$

откуда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$\ctg x+\sin 2x=\ctg 3x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\ctg 3x-\ctg x=\sin 2x.$$

По формуле разности котангенсов:

$$\ctg 3x-\ctg x=\frac{\sin(x-3x)}{\sin 3x\sin x}=\frac{-\sin 2x}{\sin 3x\sin x}.$$

Тогда

$$\frac{-\sin 2x}{\sin 3x\sin x}=\sin 2x.$$

Умножим на $$\sin 3x\sin x$$, учитывая ОДЗ: $$\sin x\ne 0,\ \sin 3x\ne 0$$:

$$-\sin 2x=\sin 2x\sin 3x\sin x,$$

$$\sin 2x(1+\sin 3x\sin x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 1+\sin 3x\sin x=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$1+\sin 3x\sin x=0 \Rightarrow \sin 3x\sin x=-1.$$

Но это возможно только при $$\sin 3x=\pm1$$ и $$\sin x=\mp1$$, что даёт те же значения $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$. Они уже входят в общий ответ.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ 2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$