Упр.1598 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (log9 (7 — x) + 1) log3-x(3)=1.

1. $$1+\log_x(5-x)=\log_7 4\cdot \log_x 7$$

   Так как $$1=\log_x x,$$ а $$\log_7 4=\log_x 4\cdot \log_7 x,$$ удобнее сразу переписать правую часть через основание $$x$$:

   $$1+\log_x(5-x)=\log_x 4.$$

   Тогда

   $$\log_x x+\log_x(5-x)=\log_x 4,$$

   $$\log_x\bigl(x(5-x)\bigr)=\log_x 4,$$

   $$x(5-x)=4.$$

   Получаем квадратное уравнение:

   $$5x-x^2=4,$$

   $$x^2-5x+4=0,$$

   $$\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0,$$

   $$x=1 \text{ или } x=4.$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$x>0,\quad x\ne 1,\quad 5-x>0.$$

   Значит, $$x=1$$ не подходит, а $$x=4$$ подходит.

2. $$\bigl(\log_9(7-x)+1\bigr)\log_{3-x}3=1$$

   Так как $$1=\log_9 9,$$ то

   $$\bigl(\log_9(7-x)+\log_9 9\bigr)\log_{3-x}3=1,$$

   $$\log_9\bigl(9(7-x)\bigr)\log_{3-x}3=1.$$

   Переходим к основанию $$3$$:

   $$\log_9\bigl(9(7-x)\bigr)=\frac12\log_3\bigl(9(7-x)\bigr),$$

   $$\log_{3-x}3=\frac{1}{\log_3(3-x)}.$$

   Тогда

   $$\frac12\log_3\bigl(9(7-x)\bigr)\cdot \frac{1}{\log_3(3-x)}=1,$$

   $$\log_{3-x}\bigl(9(7-x)\bigr)=2,$$

   $$9(7-x)=(3-x)^2.$$

   Раскроем скобки:

   $$63-9x=9-6x+x^2,$$

   $$x^2+3x-54=0,$$

   $$\left(x+9\right)\left(x-6\right)=0,$$

   $$x=-9 \text{ или } x=6.$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$3-x>0,\quad 3-x\ne 1,\quad 7-x>0.$$

   Отсюда $$x<3,\ x\ne 2.$$

   Число $$x=6$$ не подходит, а $$x=-9$$ подходит.

Ответ

1) $$x=4$$; 2) $$x=-9$$.