Упр.1598 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$1+\log_x(5-x)=\log_7(4)-\log_x(7)$$
2. $$\left(\log_9(7-x)+1\right)\log_{3-x}(3)=1$$

1) Преобразуем уравнение:

$$1+\log_x(5-x)=\log_7 4\cdot \log_x 7$$

Так как $$\log_7 4=\log_x 4\cdot \log_7 x$$, удобнее сразу использовать свойство $$1=\log_x x$$:

$$\log_x x+\log_x(5-x)=\log_x 4$$

$$\log_x\bigl(x(5-x)\bigr)=\log_x 4$$

Тогда

$$x(5-x)=4$$

$$x^2-5x+4=0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0$$

$$x=1 \text{ или } x=4$$

Проверим область допустимых значений: $$x>0,\; x\ne 1,\; 5-x>0$$, то есть $$0<x<5,\; x\ne 1.$$

Подходит только $$x=4.$$

2) Решим уравнение:

$$\bigl(\log_9(7-x)+1\bigr)\log_{3-x}3=1$$

Так как $$1=\log_9 9,$$ получаем:

$$\bigl(\log_9(7-x)+\log_9 9\bigr)\log_{3-x}3=1$$

$$\log_9\bigl(9(7-x)\bigr)\log_{3-x}3=1$$

Переходим к основанию $$3-x$$:

$$\log_9\bigl(9(7-x)\bigr)\cdot \frac{1}{\log_3(3-x)}=1$$

Так как $$\log_9 A=\frac12\log_3 A,$$ то

$$\frac12\log_3\bigl(9(7-x)\bigr)\cdot \frac{1}{\log_3(3-x)}=1$$

$$\log_{3-x}\bigl(9(7-x)\bigr)=2$$

$$9(7-x)=(3-x)^2$$

$$63-9x=9-6x+x^2$$

$$x^2+3x-54=0$$

$$\left(x+9\right)\left(x-6\right)=0$$

$$x=-9 \text{ или } x=6$$

Проверим ОДЗ: $$3-x>0,\; 3-x\ne 1,\; 7-x>0,$$ то есть $$x<3,\; x\ne 2.$$

Подходит только $$x=-9.$$

Ответ

1) $$x=4$$; 2) $$x=-9$$.