Упр.1597 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение (1597—1601).

1597. 1) $$9\cdot4^{\frac{1}{x}}+5\cdot6^{\frac{1}{x}}=4\cdot9^{\frac{1}{x}}$$;
      2) $$\log_2(x^2-3)-\log_2(6x-10)+1=0$$;
      3) $$2\log_2x-2\log_2\frac{1}{\sqrt{2}}=3\sqrt{\log_2x}$$;
      4) $$\log_x(2x^2-3x-4)=2$$.

1) $$9\cdot 4^{\frac1x}+5\cdot 6^{\frac1x}=4\cdot 9^{\frac1x}$$

Область допустимых значений: $$x\ne 0.$$

Представим степени через основания $$2$$ и $$3$$:

$$9\cdot 2^{\frac{2}{x}}+5\cdot 2^{\frac{1}{x}}3^{\frac{1}{x}}=4\cdot 3^{\frac{2}{x}}.$$

Разделим обе части на $$3^{\frac{2}{x}}$$:

$$9\left(\frac23\right)^{\frac{2}{x}}+5\left(\frac23\right)^{\frac{1}{x}}-4=0.$$

Пусть $$y=\left(\frac23\right)^{\frac{1}{x}},\quad y>0.$$ Тогда

$$9y^2+5y-4=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 9\cdot(-4)=25+144=169,$$

$$y_1=\frac{-5-13}{18}=-1,\qquad y_2=\frac{-5+13}{18}=\frac49.$$

Так как $$y>0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac23\right)^{\frac{1}{x}}=\frac49=\left(\frac23\right)^2,$$

откуда

$$\frac1x=2,\qquad x=\frac12.$$

2) $$\log_2(x^2-3)-\log_2(6x-10)+1=0$$

Область допустимых значений:

$$x^2-3>0,\qquad 6x-10>0.$$

Тогда

$$\log_2\frac{x^2-3}{6x-10}=\log_2\frac12,$$

значит

$$\frac{x^2-3}{6x-10}=\frac12.$$

Решаем уравнение:

$$2(x^2-3)=6x-10,$$

$$2x^2-6x+4=0,$$

$$x^2-3x+2=0,$$

$$x_1=1,\qquad x_2=2.$$

Проверяем ОДЗ: $$x=1$$ не подходит, а $$x=2$$ подходит.

Следовательно, $$x=2.$$

3) $$2\log_2 x-2\log_2\frac1{\sqrt2}=3\sqrt{\log_2 x}$$

Область допустимых значений: $$x>0,\ \log_2 x\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$

Так как $$\log_2\frac1{\sqrt2}=-\frac12,$$ получаем:

$$2\log_2 x+1=3\sqrt{\log_2 x}.$$

Пусть $$t=\sqrt{\log_2 x},\quad t\ge 0.$$ Тогда $$\log_2 x=t^2,$$ и уравнение принимает вид

$$2t^2+1=3t,$$

$$2t^2-3t+1=0,$$

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sqrt{\log_2 x}=\frac12 \Rightarrow \log_2 x=\frac14 \Rightarrow x=2^{\frac14}=\sqrt[4]{2},$$

$$\sqrt{\log_2 x}=1 \Rightarrow \log_2 x=1 \Rightarrow x=2.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

4) $$\log_x(2x^2-3x-4)=2$$

Область допустимых значений:

$$x>0,\qquad x\ne 1,\qquad 2x^2-3x-4>0.$$

По определению логарифма:

$$2x^2-3x-4=x^2.$$

Тогда

$$x^2-3x-4=0,$$

$$x_1=-1,\qquad x_2=4.$$

Так как $$x>0,$$ значение $$x=-1$$ не подходит. Проверим $$x=4$$:

$$2\cdot 4^2-3\cdot 4-4=32-12-4=16,$$

$$\log_4 16=2.$$

Значит, $$x=4.$$

Ответ

1) $$x=\frac12$$; 2) $$x=2$$; 3) $$x=\sqrt[4]{2},\ 2$$; 4) $$x=4$$.