Упр.1595 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) корень (x+3) — корень(2x-4) = корень (3x-2);
2) 1/(1- корень (1-x)) + 1/(1+ корень (1-x))= 2 корень 2/корень (1-x).

Подробный ответ

$$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-4}=\sqrt{3x-2}$$
ОДЗ:
$$x+3\ge 0,\quad 2x-4\ge 0,\quad 3x-2\ge 0$$
Отсюда $$x\ge 2$$.
Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$\sqrt{x+3}=\sqrt{2x-4}+\sqrt{3x-2}$$
$$x+3=2x-4+3x-2+2\sqrt{(2x-4)(3x-2)}$$
$$x+3=5x-6+2\sqrt{(2x-4)(3x-2)}$$
$$9-4x=2\sqrt{(2x-4)(3x-2)}$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$9-4x\ge 0$$.
Возведём в квадрат:
$$\left(9-4x\right)^2=4(2x-4)(3x-2)$$
$$81-72x+16x^2=24x^2-56x+32$$
$$8x^2+16x-49=0$$
$$D=16^2-4\cdot 8\cdot(-49)=1600$$
$$x=\frac{-16\pm 40}{16}$$
$$x_1=\frac{3}{2},\quad x_2=-\frac{7}{2}$$
С учётом ОДЗ $$x\ge 2$$ ни одно из найденных значений не подходит. Проверим вычисления: при преобразовании нужно было раскрыть квадрат суммы корректно:
$$x+3=2x-4+3x-2+2\sqrt{(2x-4)(3x-2)}$$
$$x+3=5x-6+2\sqrt{(2x-4)(3x-2)}$$
$$9-4x=2\sqrt{(2x-4)(3x-2)}$$
После возведения в квадрат получаем:
$$81-72x+16x^2=4(6x^2-16x+8)$$
$$81-72x+16x^2=24x^2-64x+32$$
$$8x^2+8x-49=0$$
$$D=8^2-4\cdot 8\cdot(-49)=1632=16\cdot 102$$
$$x=\frac{-8\pm 4\sqrt{102}}{16}=\frac{-2\pm \sqrt{102}}{4}$$
С учётом ОДЗ $$x\ge 2$$ подходит только
$$x=\frac{\sqrt{102}-2}{4}$$
$$\frac{1}{1-\sqrt{1-x}}+\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{1-x}}$$
Положим $$y=\sqrt{1-x}$$, тогда $$y\ge 0$$ и уравнение принимает вид:
$$\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}=\frac{2\sqrt2}{y}$$
ОДЗ: $$y\ne 0,\; y\ne 1$$.
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{(1+y)+(1-y)}{1-y^2}=\frac{2\sqrt2}{y}$$
$$\frac{2}{1-y^2}=\frac{2\sqrt2}{y}$$
$$y= \sqrt2(1-y^2)$$
$$\sqrt2\,y^2+y-\sqrt2=0$$
$$D=1-4\cdot \sqrt2\cdot(-\sqrt2)=9$$
$$y=\frac{-1\pm 3}{2\sqrt2}$$
$$y_1=\frac{1}{\sqrt2},\quad y_2=-\sqrt2$$
Так как $$y\ge 0$$, подходит только $$y=\frac{1}{\sqrt2}$$.
Тогда
$$\sqrt{1-x}=\frac{1}{\sqrt2}$$
$$1-x=\frac12$$
$$x=\frac12$$