Упр.1594 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана фигура, ограниченная кривой $$y=\sin x$$ и прямыми $$y=0$$, $$x=\frac{\pi}{2}$$ ($$0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$$). Под каким углом к оси $$Ox$$ нужно провести прямую через точку $$(0;0)$$, чтобы эта прямая разбивала данную фигуру на две фигуры равной площади?

Пусть искомая прямая проходит через начало координат и образует с осью $$Ox$$ угол $$\alpha$$. Тогда её уравнение имеет вид

$$y=kx,\qquad k=\tg\alpha.$$

Площадь данной фигуры равна

$$S=\int\limits_0^{\pi/2}\sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_0^{\pi/2}=1.$$

Чтобы прямая разбивала фигуру на две равные части, каждая из них должна иметь площадь

$$\frac{S}{2}=\frac12.$$

Площадь части фигуры, лежащей ниже прямой $$y=kx$$, равна

$$\int\limits_0^{\pi/2}kx\,dx=k\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^{\pi/2}=k\cdot\frac{\pi^2}{8}.$$

Приравниваем её к $$\frac12$$:

$$k\cdot\frac{\pi^2}{8}=\frac12,$$

откуда

$$k=\frac{4}{\pi^2}.$$

Следовательно,

$$\tg\alpha=\frac{4}{\pi^2},$$

значит,

$$\alpha=\arctg\frac{4}{\pi^2}.$$

Ответ: $$\arctg\frac{4}{\pi^2}$$.