Упр.1594 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1594 Дана фигура, ограниченная кривой у — sin х и прямыми у = 0, х =пи/2(0 < =x < =пи/2). Под каким углом к оси Ох нужно провести прямую через точку (0; 0), чтобы эта прямая разбивала данную фигуру на две фигуры равной площади? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1594 1111

Площадь данной фигуры равна

$$S=\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^{\pi/2}=1.$$

Пусть искомая прямая проходит через начало координат и образует с осью $$Ox$$ угол $$\alpha$$. Тогда её уравнение имеет вид

$$y=kx,\qquad k=\tg\alpha.$$

Чтобы прямая делила фигуру на две равные части, площадь под ней на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ должна быть равна половине общей площади:

$$\int_0^{\pi/2}kx\,dx=\frac12.$$

Вычислим:

$$\int_0^{\pi/2}kx\,dx=k\cdot \frac{x^2}{2}\Big|_0^{\pi/2}=k\cdot \frac{\pi^2}{8}.$$

Тогда

$$k\cdot \frac{\pi^2}{8}=\frac12,$$

откуда

$$k=\frac{4}{\pi^2}.$$

Следовательно,

$$\tg\alpha=\frac{4}{\pi^2},\qquad \alpha=\arctg\frac{4}{\pi^2}.$$

Ответ

$$\alpha=\arctg\frac{4}{\pi^2}.$$