Упр.1593 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1593 Через точку графика функции у = корень х с абсциссой а, где 1/2 < = < а < = 2, проведена касательная к этому графику. Найти значение а, при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ох и прямой х = 3, будет наименьшей, и вычислить эту наименьшую площадь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1593 1111

Подробный ответ

Найдём уравнение касательной к графику функции $$y=\sqrt{x}$$ в точке с абсциссой $$a$$, где $$\frac12 \le a \le 2$$.

Производная:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}.$$

Уравнение касательной:

$$ y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a) =\frac{2a+x-a}{2\sqrt{a}} =\frac{x+a}{2\sqrt{a}}. $$

Найдём точки пересечения касательной с осями и прямой $$x=3$$.

При $$x=3$$:

$$y=\frac{3+a}{2\sqrt{a}}.$$

При $$y=0$$:

$$\frac{x+a}{2\sqrt{a}}=0 \quad \Rightarrow \quad x=-a.$$

Значит, основание треугольника на оси $$Ox$$ равно

$$|-a|+3=a+3,$$

а высота равна

$$\frac{a+3}{2\sqrt{a}}.$$

Тогда площадь треугольника:

$$ S(a)=\frac12 \cdot (a+3)\cdot \frac{a+3}{2\sqrt{a}} =\frac{(a+3)^2}{4\sqrt{a}}. $$

Преобразуем:

$$ S(a)=\frac{a^2+6a+9}{4a^{1/2}} =\frac14\left(a^{3/2}+6a^{1/2}+9a^{-1/2}\right). $$

Найдём производную:

$$ S'(a)=\frac14\left(\frac32 a^{1/2}+3a^{-1/2}-\frac92 a^{-3/2}\right) =\frac{3}{8\sqrt{a}}\left(a+\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{3}{a\sqrt{a}}\right). $$

Удобнее записать так:

$$ S'(a)=\frac{3a^2+6a-9}{8a\sqrt{a}} =\frac{3(a+3)(a-1)}{8a\sqrt{a}}. $$

На отрезке $$\frac12 \le a \le 2$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением $$a-1$$. Следовательно, минимум достигается при

$$a=1.$$

Найдём минимальную площадь:

$$ S_{\min}=S(1)=\frac{(1+3)^2}{4\sqrt{1}}=\frac{16}{4}=4. $$