Упр.1591 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
Пусть точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$x=-2$$ и находятся на расстоянии $$l$$ от неё. Тогда их абсциссы равны:
$$x_A=-2-l,\qquad x_B=-2+l.$$
Функция имеет вид
$$f(x)=x^3+ax^2+bx+c,$$
поэтому
$$f'(x)=3x^2+2ax+b.$$
Так как касательные в точках $$A$$ и $$B$$ параллельны, их угловые коэффициенты равны:
$$f'(-2-l)=f'(-2+l).$$
Тогда
$$ 3(-2-l)^2+2a(-2-l)+b=3(-2+l)^2+2a(-2+l)+b. $$
Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:
$$ 3(-2-l)^2+2a(-2-l)=3(-2+l)^2+2a(-2+l). $$
Раскроем скобки:
$$ 3(l^2+4l+4)-4a-2al=3(l^2-4l+4)-4a+2al. $$
$$ 3l^2+12l+12-4a-2al=3l^2-12l+12-4a+2al. $$
$$ 24l-4al=0, $$
$$ l(6-a)=0. $$
Так как $$l\neq 0$$, то
$$a=6.$$
Теперь найдём $$b$$ и $$c$$. Уравнение касательной в точке с абсциссой $$t$$:
$$ y=f'(t)(x-t)+f(t). $$
Подставим $$a=6$$:
$$f'(t)=3t^2+12t+b,$$
$$f(t)=t^3+6t^2+bt+c.$$
Тогда касательная имеет вид
$$ y=(3t^2+12t+b)(x-t)+t^3+6t^2+bt+c. $$
После упрощения:
$$ y=(3t^2+12t+b)x-2t^3-6t^2+c. $$
Если касательная проходит через точку с абсциссой $$0$$, то её ордината равна свободному члену:
$$y=c-2t^3-6t^2.$$
Для точки $$A$$, касательная проходит через $$ (0;1) $$:
$$ 1=c-2(-2-l)^3-6(-2-l)^2. $$
Подставим $$l=-1$$, тогда
$$ 1=c-2(-1)^3-6(-1)^2=c+2-6=c-4, $$
откуда
$$c=5.$$
Для точки $$B$$ касательная проходит через $$ (0;5) $$:
$$ 5=c-2(l-2)^3-6(l-2)^2. $$
При $$l=-1$$ получаем:
$$ 5=c-2(-3)^3-6(-3)^2=c+54-54=c, $$
значит
$$c=5.$$
Теперь найдём $$b$$. Координаты точек:
$$A(-2-l,\ f(-2-l)),\qquad B(-2+l,\ f(-2+l)).$$
При $$l=-1$$:
$$A(-1,\ f(-1)),\qquad B(-3,\ f(-3)).$$
Так как точки лежат на графике функции $$f(x)=x^3+6x^2+bx+5$$, то
$$ f(-1)=-1+6-b+5=10-b, $$
$$ f(-3)=-27+54-3b+5=32-3b. $$
Поскольку точки симметричны относительно прямой $$x=-2$$, их ординаты равны:
$$10-b=32-3b.$$
Отсюда
$$2b=22,\qquad b=11.$$
Ответ
$$a=6,\quad b=11,\quad c=5.$$
