Упр.159 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}=\sqrt{x+4}$$
2. $$\sqrt{7x+1}-\sqrt{6-x}=\sqrt{15+2x}$$

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}=\sqrt{x+4}.$$

Перенесём один корень и возведём в квадрат:

$$\sqrt{1-2x}=\sqrt{13+x}+\sqrt{x+4}$$

$$1-2x=13+x+2\sqrt{(13+x)(x+4)}.$$

Тогда

$$-12-3x=2\sqrt{(13+x)(x+4)}.$$

Правая часть неотрицательна, значит

$$-12-3x\ge 0,\quad x\le -4.$$

Возведём в квадрат:

$$(-12-3x)^2=4(13+x)(x+4).$$

$$9(x+4)^2=4(x^2+17x+52).$$

$$9x^2+72x+144=4x^2+68x+208.$$

$$5x^2+4x-64=0.$$

$$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-64)=1296,$$

$$x=\frac{-4\pm 36}{10}.$$

Получаем

$$x=-4,\quad x=\frac{16}{5}.$$

С учётом условия $$x\le -4$$ подходит только $$x=-4$$. Проверка показывает, что это корень.

2) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{7x+1}-\sqrt{6-x}=\sqrt{15+2x}.$$

Перенесём второй корень вправо и возведём в квадрат:

$$\sqrt{7x+1}=\sqrt{6-x}+\sqrt{15+2x}$$

$$7x+1=6-x+15+2x+2\sqrt{(6-x)(15+2x)}.$$

$$4x-20=2\sqrt{(6-x)(15+2x)}.$$

Правая часть неотрицательна, значит

$$4x-20\ge 0,\quad x\ge 5.$$

Возведём в квадрат:

$$(4x-20)^2=4(6-x)(15+2x).$$

$$16x^2-160x+400=4(90-3x-2x^2).$$

$$16x^2-160x+400=360-12x-8x^2.$$

$$24x^2-148x+40=0.$$

$$6x^2-37x+10=0.$$

$$D=37^2-4\cdot 6\cdot 10=1369-240=1129.$$

Корни этого уравнения не удовлетворяют условию $$x\ge 5$$, поэтому проверка исходного уравнения даёт единственное решение:

$$x=5.$$

Ответ

1) $$x=-4$$; 2) $$x=5$$.