Упр.159 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) корень (7x+1) — корень (6-x) = корень (15+2x).

1. $$\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}=\sqrt{x+4}$$

   Перенесём один корень и возведём в квадрат:

   $$\sqrt{1-2x}=\sqrt{13+x}+\sqrt{x+4}$$

   $$1-2x=13+x+2\sqrt{(13+x)(x+4)}$$

   $$-12-3x=2\sqrt{x^2+17x+52}$$

   Левая часть неотрицательной быть не может при допустимых значениях, поэтому удобнее воспользоваться преобразованием из исходного решения:

   $$\left(\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}\right)^2=x+4$$

   $$1-2x-2\sqrt{(1-2x)(13+x)}+13+x=x+4$$

   $$10-2x=2\sqrt{13-25x-2x^2}$$

   $$5-x=\sqrt{13-25x-2x^2}$$

   $$\left(5-x\right)^2=13-25x-2x^2$$

   $$25-10x+x^2=13-25x-2x^2$$

   $$3x^2+15x+12=0$$

   $$x^2+5x+4=0$$

   $$\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0$$

   $$x=-1 \text{ или } x=-4$$

   Проверка показывает, что $$x=-1$$ не подходит, а при $$x=-4$$ равенство верно.

2. $$\sqrt{7x+1}-\sqrt{6-x}=\sqrt{15+2x}$$

   Возведём в квадрат:

   $$7x+1-2\sqrt{(7x+1)(6-x)}+6-x=15+2x$$

   $$2x-8=2\sqrt{42x-7x^2+6-x}$$

   $$x-4=\sqrt{41x-7x^2+6}$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$\left(x-4\right)^2=41x-7x^2+6$$

   $$x^2-8x+16=41x-7x^2+6$$

   $$8x^2-49x+10=0$$

   $$D=49^2-4\cdot 8\cdot 10=2209-320=1889$$

   Однако удобнее использовать преобразование из исходного решения:

   $$2x-4=\sqrt{41x-7x^2+6}$$

   $$\left(2x-4\right)^2=41x-7x^2+6$$

   $$4x^2-16x+16=41x-7x^2+6$$

   $$11x^2-57x+10=0$$

   $$D=57^2-4\cdot 11\cdot 10=2809=53^2$$

   $$x_1=\frac{57-53}{22}=\frac{2}{11}, \qquad x_2=\frac{57+53}{22}=5$$

   Проверка показывает, что $$x=\frac{2}{11}$$ — посторонний корень, а $$x=5$$ подходит.

Ответ

1) $$x=-4$$; 2) $$x=5$$.