Упр.1589 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

589. Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии 1 мили. Корабль А идёт на юг, делая 3 мили в час, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля В, который идёт на запад со скоростью 4 мили в час. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приёма сигнала?

Пусть $$t$$ — время, прошедшее с начала наблюдения, а $$l(t)$$ — расстояние между кораблями.

За время $$t$$ корабль $$A$$ уйдёт на юг на $$3t$$ миль, а корабль $$B$$ — на запад на $$4t$$ миль. Тогда горизонтальное расстояние между ними станет равным $$5-4t$$, а расстояние между кораблями:

$$l(t)=\sqrt{(3t)^2+(5-4t)^2}=\sqrt{9t^2+25-40t+16t^2}=\sqrt{25t^2-40t+25}.$$

Найдём, когда это расстояние минимально. Так как подкоренное выражение — квадратный трёхчлен, минимум достигается при

$$t=\frac{-(-40)}{2\cdot 25}=\frac{40}{50}=\frac45.$$

Тогда

$$l\!\left(\frac45\right)=\sqrt{25\cdot \frac{16}{25}-40\cdot \frac45+25}=\sqrt{16-32+25}=\sqrt9=3.$$

Минимальное расстояние между кораблями равно $$3$$ милям, а сигнал можно различить только на расстоянии $$1$$ мили.

Следовательно, корабли не будут на расстоянии, достаточном для приёма сигнала.

Ответ: не будут, так как минимальное расстояние между ними равно $$3$$ милям.