Упр.1589 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 589 Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии 1 мили. Корабль А идёт на юг, делая 3 мили в час, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля В, который идёт на запад со скоростью 4 мили в час. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приёма сигнала? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1589 1111

Подробный ответ

Пусть $$t$$ — время в часах с начала наблюдения, а $$l(t)$$ — расстояние между кораблями.

За время $$t$$ корабль A уйдёт на юг на $$3t$$ миль, а корабль B уйдёт на запад на $$4t$$ миль. Тогда расстояние между ними:

$$ l(t)=\sqrt{(3t)^2+(5-4t)^2} =\sqrt{9t^2+25-40t+16t^2} =\sqrt{25t^2-40t+25}. $$

Найдём, когда это расстояние наименьшее. Так как $$l(t)=\sqrt{25t^2-40t+25}$$, достаточно рассмотреть выражение под корнем:

$$ 25t^2-40t+25. $$

Это квадратный трёхчлен, его минимум достигается в вершине параболы:

$$ t=\frac{-(-40)}{2\cdot 25}=\frac{40}{50}=\frac45. $$

Найдём минимальное расстояние:

$$ l\!\left(\frac45\right)=\sqrt{25\cdot \frac{16}{25}-40\cdot \frac45+25} =\sqrt{16-32+25} =\sqrt9=3. $$

Минимальное расстояние между кораблями равно $$3$$ милям, а сигнал различим только на расстоянии $$1$$ мили. Значит, корабли не будут на расстоянии, достаточном для приёма сигнала.