Упр.1588 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1588 Через точку А (3; -4) проведена касательная l к гиперболе у =-12/x. Найти радиус окружности с центром на оси ординат, касающейся прямой l и оси абсцисс. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1588 1111

Подробный ответ

Найдём уравнение касательной к гиперболе $$y=-\frac{12}{x}$$ в точке $$A(3;-4).$$

Производная:

$$y’=\frac{12}{x^2}.$$

Тогда угловой коэффициент касательной в точке $$x=3$$ равен

$$k=y'(3)=\frac{12}{3^2}=\frac{4}{3}.$$

Уравнение касательной:

$$y+4=\frac{4}{3}(x-3),$$

откуда

$$y=\frac{4}{3}x-8.$$

Пусть центр окружности лежит на оси ординат и имеет координаты $$O(0;a).$$ Тогда окружность касается оси абсцисс, значит её радиус равен $$|a|,$$ а уравнение имеет вид

$$x^2+(y-a)^2=a^2.$$

Так как окружность касается прямой $$y=\frac{4}{3}x-8,$$ расстояние от центра $$O(0;a)$$ до этой прямой равно радиусу:

$$\frac{\left|\frac{4}{3}\cdot 0-a-8\right|}{\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+1}}=|a|.$$

Получаем

$$\frac{|a+8|}{5/3}=|a|,$$

то есть

$$3|a+8|=5|a|.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$a>0.$$ Тогда

$$3(a+8)=5a,$$

$$24=2a,$$

$$a=12.$$