Упр.1587 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Через точку $$A\left(2;-\frac{12}{5}\right)$$ проведена касательная к параболе $$y=-\frac{3x^2}{5}$$, пересекающая ось абсцисс в точке $$B$$, а ось ординат в точке $$C$$. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник $$BOC$$ ($$O$$ — начало координат).

Пусть $$f(x)=-\frac{3}{5}x^2.$$ Тогда $$f'(x)=-\frac{6}{5}x.$$

Найдём уравнение касательной в точке $$A\left(2;-\frac{12}{5}\right):$$

$$y=f'(2)(x-2)+f(2)=-\frac{12}{5}(x-2)-\frac{12}{5}=-\frac{12}{5}x+\frac{12}{5}.$$

Точка пересечения с осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем

$$y=\frac{12}{5},$$

значит, $$C\left(0;\frac{12}{5}\right).$$

Точка пересечения с осью $$Ox$$: при $$y=0$$

$$-\frac{12}{5}x+\frac{12}{5}=0,\qquad x=1,$$

значит, $$B(1;0).$$

Треугольник $$BOC$$ прямоугольный, поэтому

$$S=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{12}{5}=\frac{6}{5}.$$

Найдём полупериметр:

$$BC=\sqrt{1^2+\left(\frac{12}{5}\right)^2}=\sqrt{1+\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{169}{25}}=\frac{13}{5},$$

$$p=\frac{OB+OC+BC}{2}=\frac{1+\frac{12}{5}+\frac{13}{5}}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{6}{5}}{3}=\frac{2}{5}.$$

Ответ: $$\frac{2}{5}$$.