Упр.1587 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1587 Через точку А (2;-12/5) проведена касательная к параболе у = -3х2/5, пересекающая ось абсцисс в точке В, а ось ординат в точке С. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ВОС (О — начало координат). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1587 1111

Найдём уравнение касательной к параболе $$y=-\frac{3}{5}x^2$$ в точке $$A\left(2;-\frac{12}{5}\right).$$

Производная:

$$y’=-\frac{6}{5}x,$$

поэтому угловой коэффициент касательной в точке $$A$$ равен

$$y'(2)=-\frac{12}{5}.$$

Уравнение касательной:

$$y+\frac{12}{5}=-\frac{12}{5}(x-2),$$

откуда

$$y=-\frac{12}{5}x+\frac{12}{5}=\frac{12}{5}(1-x).$$

Найдём точки пересечения с осями координат:

при $$y=0$$ получаем $$x=1,$$ значит, $$B(1;0);$$

при $$x=0$$ получаем $$y=\frac{12}{5},$$ значит, $$C\left(0;\frac{12}{5}\right).$$

Треугольник $$BOC$$ прямоугольный, так как $$OB \perp OC.$$

Его катеты:

$$OB=1,\qquad OC=\frac{12}{5}.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12\cdot OB\cdot OC=\frac12\cdot 1\cdot \frac{12}{5}=\frac{6}{5}.$$

Гипотенуза:

$$BC=\sqrt{1^2+\left(\frac{12}{5}\right)^2}=\sqrt{1+\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{169}{25}}=\frac{13}{5}.$$

Полупериметр:

$$p=\frac{OB+OC+BC}{2}=\frac{1+\frac{12}{5}+\frac{13}{5}}{2}=\frac{1+5}{2}=3.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{6}{5}}{3}=\frac{2}{5}.$$

Ответ

$$\frac{2}{5}$$