Упр.1585 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1585 Найти все значения 6, при каждом из которых функция f(x) = sin 2х — 8 (b + 2) cosx — (4b2 + 16b + 6) х является убывающей на всей числовой прямой и при этом не имеет стационарных точек.

Найдём производную функции:

$$f(x)=\sin 2x-8(b+2)\cos x-(4b^2+16b+6)x$$

$$f'(x)=2\cos 2x+8(b+2)\sin x-(4b^2+16b+6).$$

Чтобы функция была убывающей на всей числовой прямой и не имела стационарных точек, нужно, чтобы для всех $$x$$ выполнялось строгое неравенство

$$f'(x)<0.$$

Преобразуем:

$$2\cos 2x+8(b+2)\sin x-(4b^2+16b+6)<0$$

$$2b^2-b(4\sin x-8)-(\cos 2x+8\sin x-3)>0.$$

Рассмотрим это как квадратное неравенство относительно $$b$$. Его дискриминант равен

$$D=(4\sin x-8)^2+4\cdot 2(\cos 2x+8\sin x-3).$$

Упростим:

$$D=16\sin^2 x-64\sin x+64+8\cos 2x+64\sin x-24$$

$$D=16\sin^2 x+8\cos 2x+40.$$

Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$, получаем

$$D=16\sin^2 x+8(1-2\sin^2 x)+40=48=16\cdot 3.$$

Тогда корни квадратного трёхчлена по $$b$$:

$$b=\frac{4\sin x-8\pm \sqrt{48}}{4}=\sin x-2\pm \sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\bigl(b-(\sin x-2-\sqrt3)\bigr)\bigl(b-(\sin x-2+\sqrt3)\bigr)<0,$$

то есть

$$\sin x-2-\sqrt3<b<\sin x-2+\sqrt3.$$

Чтобы это неравенство выполнялось при всех $$x$$, учитываем, что $$-1\le \sin x\le 1$$. Тогда

$$\sin x-2-\sqrt3\le -3-\sqrt3,$$

$$\sin x-2+\sqrt3\ge -3+\sqrt3.$$

Для строгого выполнения условия при всех $$x$$ нужно, чтобы

$$b<-3-\sqrt3$$

или

$$b&gt{\sqrt3}-1.$$

При таких значениях $$b$$ производная нигде не обращается в нуль, значит стационарных точек нет.

Ответ

$$b<-3-\sqrt3,\quad b>\sqrt3-1.$$