Упр.1584 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1584 Доказать, что при -1 < = х < = 1 сумма arcsin х + arccos х равна С, где С — постоянная. Найти С. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1584 1111

Пусть

$$\arcsin x+\arccos x=C.$$

Тогда

$$\arcsin x=C-\arccos x,$$

и после применения синуса получаем

$$x=\sin(C-\arccos x).$$

Раскроем синус разности:

$$x=\sin C\cdot \cos(\arccos x)-\cos C\cdot \sin(\arccos x).$$

Так как $$\cos(\arccos x)=x$$ и $$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2},$$ то

$$x=x\sin C-\cos C\sqrt{1-x^2}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x(1-\sin C)=-\cos C\sqrt{1-x^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2(1-\sin C)^2=\cos^2 C(1-x^2).$$

Раскроем скобки и используем $$\cos^2 C=1-\sin^2 C$$:

$$x^2(1-2\sin C+\sin^2 C)=(1-\sin^2 C)(1-x^2),$$

$$x^2-2x^2\sin C+x^2\sin^2 C=1-x^2-\sin^2 C+x^2\sin^2 C,$$

$$2x^2-2x^2\sin C-1+\sin^2 C=0,$$

$$2x^2(1-\sin C)-(1-\sin C)(1+\sin C)=0,$$

$$ (1-\sin C)(2x^2-1-\sin C)=0.$$

Чтобы равенство выполнялось при всех $$x\in[-1;1],$$ должно быть

$$1-\sin C=0,$$

то есть

$$\sin C=1.$$

Отсюда

$$C=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Но при $$-1\le x\le 1$$ имеем

$$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \arccos x\le \pi,$$

значит

$$0\le \arcsin x+\arccos x\le \frac{3\pi}{2}.$$

Следовательно, подходит только

$$C=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$