Упр.1581 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) y=1/cosx;
3) y=1/lnx.
$$y=\frac{2}{(x-1)(x-3)}$$
Область определения:
$$x-1\ne 0,\quad x-3\ne 0$$
$$x\ne 1,\quad x\ne 3$$
$$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=2\bigl((x-1)(x-3)\bigr)^{-1}{}’=-2\frac{2x-4}{\bigl((x-1)(x-3)\bigr)^2}=\frac{8-4x}{(x^2-4x+3)^2}$$
Так как знаменатель положителен на области определения, то знак производной определяется числителем:
$$8-4x>0,\quad x<2$$
Следовательно, функция возрастает при $$x<2$$ и убывает при $$x>2$$.
Стационарная точка:
$$x=2$$
$$y(2)=\frac{2}{(2-1)(2-3)}=\frac{2}{1\cdot(-1)}=-2$$
Значит, в точке $$x=2$$ функция имеет максимум.
$$y=\frac{1}{\cos x}$$
Область определения:
$$\cos x\ne 0$$
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Найдём производную:
$$y’=\bigl(\cos x\bigr)^{-1}{}’=\frac{\sin x}{\cos^2 x}$$
Так как $$\cos^2 x>0$$, знак производной определяется знаком $$\sin x$$:
$$\sin x>0$$ при $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\sin x<0$$ при $$\pi+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Следовательно, функция возрастает на промежутках $$\left(2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)$$ и убывает на промежутках $$\left(\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n\right)$$, $$n\in\mathbb Z$$.
Стационарные точки:
$$x=\pi+2\pi n$$ — точки максимума,
$$x=2\pi n$$ — точки минимума, $$n\in\mathbb Z$$.
Значения функции в них:
$$y(\pi+2\pi n)=\frac{1}{\cos(\pi+2\pi n)}=-1$$
$$y(2\pi n)=\frac{1}{\cos(2\pi n)}=1$$
$$y=\frac{1}{\ln x}$$
Область определения:
$$x>0,\quad \ln x\ne 0$$
$$x\ne 1$$
$$D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y’=\bigl(\ln x\bigr)^{-1}{}’=-\frac{1}{x\ln^2 x}$$
На области определения $$x>0$$ и $$\ln^2 x>0$$, значит
$$y'<0$$
Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(1;+\infty\right)$$.
Предел при $$x\to+\infty$$:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln x}=0$$
Функция отрицательна при
$$\frac{1}{\ln x}<0,\quad \ln x<0,\quad x<1$$
Ответ
1) $$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty)$$, функция возрастает при $$x<2$$, убывает при $$x>2$$, максимум в точке $$x=2$$, $$y_{\max}=-2$$.
2) $$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\}$$, функция возрастает на $$\left(2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)$$ и убывает на $$\left(\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n\right)$$, $$n\in\mathbb Z$$; максимумы: $$y=-1$$, минимумы: $$y=1$$.
3) $$D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty)$$, функция убывает на $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(1;+\infty\right)$$, $$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln x}=0$$, $$y<0$$ при $$0<x<1$$.
