Упр.1580 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции.
1) $$y=\frac{\sqrt{x^2}}{x}=\frac{|x|}{x}.$$
Область определения: $$x\ne 0,$$ то есть $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит
$$y=\frac{-x}{x}=-1.$$
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ значит
$$y=\frac{x}{x}=1.$$
Следовательно, график состоит из двух горизонтальных лучей: $$y=-1$$ при $$x<0$$ и $$y=1$$ при $$x>0,$$ с выколотой точкой при $$x=0.$$
2) $$y=\frac{2}{1-2x}.$$
Область определения: $$1-2x\ne 0,$$ откуда $$x\ne \frac12.$$ Поэтому
$$D(x)=(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty).$$
Функция имеет вертикальную асимптоту $$x=\frac12$$ и горизонтальную асимптоту $$y=0.$$ Для построения удобно отметить точки:
$$x=0 \Rightarrow y=2,\qquad x=1 \Rightarrow y=-2.$$
График — гипербола с ветвями по разные стороны от асимптоты $$x=\frac12.$$
3) $$y=\frac{3x+2}{2x-3}.$$
Область определения: $$2x-3\ne 0,$$ значит $$x\ne \frac32.$$ Поэтому
$$D(x)=(-\infty;\tfrac32)\cup(\tfrac32;+\infty).$$
Найдём асимптоты. Вертикальная асимптота: $$x=\frac32.$$ Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+2}{2x-3}=\frac32,$$
значит $$y=\frac32.$$
Для построения отметим точки:
$$x=-5 \Rightarrow y=1,\qquad x=1 \Rightarrow y=-5,\qquad x=2 \Rightarrow y=8,\qquad x=8 \Rightarrow y=2.$$
График — гипербола с асимптотами $$x=\frac32$$ и $$y=\frac32.$$
4) $$y=\frac{2x}{2-|x|}.$$
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=\frac{2(-x)}{2-|-x|}=-\frac{2x}{2-|x|}=-y(x).$$
Область определения: $$2-|x|\ne 0,$$ откуда $$|x|\ne 2,$$ значит
$$D(x)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x,$$ тогда
$$y=\frac{2x}{2-x}.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x,$$ тогда
$$y=\frac{2x}{2+x}.$$
Для построения удобно взять точки:
$$x=0 \Rightarrow y=0,\qquad x=1 \Rightarrow y=2,\qquad x=3 \Rightarrow y=-6,\qquad x=4 \Rightarrow y=-4,\qquad x=6 \Rightarrow y=-3.$$
График состоит из трёх ветвей и симметричен относительно начала координат.
Ответ
1) $$y=-1$$ при $$x<0$$ и $$y=1$$ при $$x>0.$$
2) $$D(x)=(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty),$$ асимптоты $$x=\tfrac12$$ и $$y=0.$$
3) $$D(x)=(-\infty;\tfrac32)\cup(\tfrac32;+\infty),$$ асимптоты $$x=\tfrac32$$ и $$y=\tfrac32.$$
4) $$D(x)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
