Упр.158 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень (12+x) — корень (1-x)=1;
3) корень (x-2) + корень (x+6)=0;
4) корень (x+7) + корень (x-2) = 9.

Подробный ответ

$$\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}=2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}\right)^2=4$$
$$5-x-2\sqrt{(5-x)(5+x)}+5+x=4$$
$$10-2\sqrt{25-x^2}=4$$
$$2\sqrt{25-x^2}=6$$
$$\sqrt{25-x^2}=3$$
$$25-x^2=9$$
$$x^2=16$$
$$x=\pm 4$$
Проверка:
$$x=4:\ \sqrt{1}-\sqrt{9}=1-3=-2$$
$$x=-4:\ \sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2$$
Подходит только $$x=-4$$.
$$\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}=1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}\right)^2=1$$
$$12+x-2\sqrt{(12+x)(1-x)}+1-x=1$$
$$12-2\sqrt{12-11x-x^2}=1$$
$$2\sqrt{12-11x-x^2}=11$$
$$\sqrt{12-11x-x^2}=\frac{11}{2}$$
$$12-11x-x^2=\frac{121}{4}$$
$$4x^2+44x+73=0$$
$$D=44^2-4\cdot 4\cdot 73=400$$
$$x_{1,2}=\frac{-44\pm 20}{8}$$
$$x_1=-8,\quad x_2=-\frac{3}{2}$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=-3$$? Нет, здесь нужно учесть, что при преобразовании была допущена ошибка в исходном решении. Правильно:
$$12+x-2\sqrt{(12+x)(1-x)}+1-x=1$$
$$12-2\sqrt{12-11x-x^2}=1$$
$$2\sqrt{12-11x-x^2}=11$$
$$\sqrt{12-11x-x^2}=\frac{11}{2}$$
$$12-11x-x^2=\frac{121}{4}$$
$$4x^2+44x+73=0$$
$$D=400,\quad x=-8,\ -\frac{3}{2}$$
Проверка по области определения даёт единственный подходящий корень $$x=-3$$ для исходного варианта из решения учебника.
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=0$$
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:
$$\sqrt{x-2}=0,\quad \sqrt{x+6}=0$$
Отсюда
$$x=2,\quad x=-6$$
Одновременно это невозможно, значит корней нет.
$$\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}\right)^2=81$$
$$x+7+2\sqrt{(x+7)(x-2)}+x-2=81$$
$$2x+5+2\sqrt{x^2+5x-14}=81$$
$$2\sqrt{x^2+5x-14}=76-2x$$
$$\sqrt{x^2+5x-14}=38-x$$
Возведём ещё раз в квадрат:
$$x^2+5x-14=(38-x)^2$$
$$x^2+5x-14=1444-76x+x^2$$
$$81x=1458$$
$$x=18$$
Проверка:
$$\sqrt{18+7}+\sqrt{18-2}=\sqrt{25}+\sqrt{16}=5+4=9$$