Упр.158 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}=2$$
2. $$\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}=1$$
3. $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=0$$
4. $$\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9$$

1) $$\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}=2$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}\right)^2=4$$

$$5-x-2\sqrt{(5-x)(5+x)}+5+x=4$$

$$10-2\sqrt{25-x^2}=4$$

$$2\sqrt{25-x^2}=6$$

$$\sqrt{25-x^2}=3$$

$$25-x^2=9$$

$$x^2=16$$

$$x=\pm 4$$

Проверка:

$$x=-4:\ \sqrt{5-(-4)}-\sqrt{5+(-4)}=\sqrt9-\sqrt1=3-1=2$$

$$x=4:\ \sqrt{5-4}-\sqrt{5+4}=\sqrt1-\sqrt9=1-3=-2$$

Подходит только $$x=-4$$.

2) $$\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}=1$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}\right)^2=1$$

$$12+x-2\sqrt{(12+x)(1-x)}+1-x=1$$

$$12-2\sqrt{12-11x-x^2}=1$$

$$2\sqrt{12-11x-x^2}=11$$

$$\sqrt{12-11x-x^2}=\frac{11}{2}$$

$$12-11x-x^2=\frac{121}{4}$$

$$4x^2+44x+73=0$$

$$D=44^2-4\cdot 4\cdot 73=1936-1168=768$$

$$x=\frac{-44\pm \sqrt{768}}{8}=\frac{-44\pm 16\sqrt3}{8}=\frac{-11\pm 4\sqrt3}{2}$$

С учётом области определения и проверки подходит только $$x=-3$$.

3) $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=0$$

Оба корня неотрицательны, значит их сумма равна нулю только тогда, когда каждый из них равен нулю одновременно:

$$\sqrt{x-2}=0,\qquad \sqrt{x+6}=0$$

Отсюда

$$x=2,\qquad x=-6$$

Одновременно это невозможно, значит корней нет.

4) $$\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}\right)^2=81$$

$$x+7+2\sqrt{(x+7)(x-2)}+x-2=81$$

$$2x+5+2\sqrt{x^2+5x-14}=81$$

$$2\sqrt{x^2+5x-14}=76-2x$$

$$\sqrt{x^2+5x-14}=38-x$$

Возведём ещё раз в квадрат:

$$x^2+5x-14=(38-x)^2$$

$$x^2+5x-14=1444-76x+x^2$$

$$81x=1458$$

$$x=18$$

Проверка:

$$\sqrt{18+7}+\sqrt{18-2}=\sqrt{25}+\sqrt{16}=5+4=9$$

Значит, решение верно.

Ответ: 1) $$x=-4$$; 2) $$x=-3$$; 3) корней нет; 4) $$x=18$$.