Упр.1578 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1578 (корень (3×3-22×2+40x)/(x-4) > =3x-10.

Рассмотрим неравенство

$$\frac{\sqrt{3x^3-22x^2+40x}}{x-4}\ge 3x-10.$$

Обозначим числитель под корнем:

$$3x^3-22x^2+40x=x(3x^2-22x+40)=x(3x-10)(x-4).$$

Тогда область определения задаётся условиями

$$x(3x-10)(x-4)\ge 0,\qquad x\ne 4.$$

Отсюда

$$x\in\left[0;\frac{10}{3}\right]\cup(4;+\infty).$$

Теперь рассмотрим два случая.

1) Если $$x>4,$$ то $$x-4>0,$$ и можно умножить неравенство на $$x-4$$ без изменения знака:

$$\sqrt{x(3x-10)(x-4)}\ge (3x-10)(x-4).$$

После возведения в квадрат получаем равносильное неравенство

$$x(3x-10)(x-4)\ge (3x-10)^2(x-4)^2,$$

то есть

$$ (3x-10)(x-4)\bigl(x-(3x-10)(x-4)\bigr)\ge 0.$$

Упростим:

$$x-(3x-10)(x-4)=x-(3x^2-22x+40)=-3x^2+23x-40.$$

Тогда

$$ (3x-10)(x-4)(-3x^2+23x-40)\ge 0,$$

или

$$ (3x-10)(x-4)(3x^2-23x+40)\le 0.$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$3x^2-23x+40=(3x-8)(x-5).$$

При $$x>4$$ получаем решение

$$4<x\le 5.$$

2) Если $$x<4,$$ то $$x-4<0,$$ и при умножении знак неравенства меняется:

$$\sqrt{x(3x-10)(x-4)}\le (3x-10)(x-4).$$

После преобразований получаем

$$ (3x-10)(x-4)(3x^2-23x+40)\ge 0,$$

то есть

$$ (3x-10)(x-4)(3x-8)(x-5)\ge 0.$$

С учётом условия $$x<4$$ и области определения получаем

$$0\le x\le \frac{8}{3}\quad \text{или}\quad x=\frac{10}{3}.$$

Объединяя результаты и учитывая область определения, получаем:

$$x\in\left[0;\frac{8}{3}\right]\cup\left\{\frac{10}{3}\right\}\cup(4;5].$$

Ответ

$$x\in\left[0;\frac{8}{3}\right]\cup\left\{\frac{10}{3}\right\}\cup(4;5].$$