Упр.1576 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^3+6x^2+5x-12}>0$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x^2-4)(x+1)=(x-2)(x+2)(x+1),$$

$$x^3+6x^2+5x-12=(x-1)(x+3)(x+4).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+3)(x+4)}>0.$$

Критические точки:

$$x=-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,1,\,2.$$

Отметим их на числовой прямой и определим знаки дроби по промежуткам. Получаем, что выражение положительно на промежутках

$$(-\infty;-4),\;(-3;-2),\;(-1;1),\;(2;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;-2)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty).$$