Упр.1575 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
$$\log_{|2x+2|}(1-9x)<\log_{|2x+2|}(1+3x)+\log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9}+3(x+1)\right)$$
Преобразуем правую часть:
$$\log_{|2x+2|}(1-9^x)<\log_{|2x+2|}(1+3^x)+\log_{|2x+2|}\left(\frac59+3^{x-1}\right)$$
$$\log_{|2x+2|}(1-9^x)<\log_{|2x+2|}\left(\left(1+3^x\right)\left(\frac59+3^{x-1}\right)\right).$$
Рассмотрим основание логарифма: $$|2x+2|>0,\quad |2x+2|\ne1.$$
Значит, нужно отдельно учесть случаи:
$$|2x+2|>1.$$
Тогда логарифмическая функция возрастает, и неравенство равносильно
$$1-9^x<\left(1+3^x\right)\left(\frac59+3^{x-1}\right).$$
Положим $$t=3^x>0.$$ Тогда $$9^x=t^2,\quad 3^{x-1}=\frac{t}{3}.$$ Получаем
$$1-t^2<(1+t)\left(\frac59+\frac{t}{3}\right).$$
После преобразований:
$$1-t^2<\frac59+\frac{8t}{9}+\frac{t^2}{3}$$
$$9-9t^2<5+8t+3t^2$$
$$12t^2+8t-4>0$$
$$3t^2+2t-1>0$$
$$\left(3t-1\right)\left(t+1\right)>0.$$
Так как $$t>0,$$ то $$t+1>0,$$ значит
$$3t-1>0,\quad t>\frac13.$$
Следовательно, $$3^x>3^{-1},$$ откуда $$x>-1.$$
При этом из условия $$|2x+2|>1$$ получаем
$$x<-\frac32 \quad \text{или} \quad x>-\frac12.$$
С учётом $$x>-1$$ остаётся
$$x>-\frac12.$$
$$|2x+2|<1.$$
Тогда логарифмическая функция убывает, и неравенство равносильно
$$1-9^x>\left(1+3^x\right)\left(\frac59+3^{x-1}\right).$$
Аналогично, положив $$t=3^x>0,$$ получаем
$$1-t^2>(1+t)\left(\frac59+\frac{t}{3}\right),$$
откуда
$$3t^2+2t-1<0$$
$$\left(3t-1\right)\left(t+1\right)<0.$$
Так как $$t>0,$$ то $$t+1>0,$$ значит
$$3t-1<0,\quad t<\frac13.$$
Следовательно, $$3^x<3^{-1},$$ откуда $$x<-1.$$
Из условия $$|2x+2|<1$$ имеем
$$-\frac32<x<-\frac12.$$
С учётом $$x<-1$$ получаем
$$-\frac32<x<-1.$$
Проверим область определения логарифмов:
$$1-9^x>0 \;\Rightarrow\; x<0,$$
$$1+3^x>0,$$
$$\frac59+3^{x-1}>0.$$
Эти условия выполнены для найденных промежутков.
Итак, решение неравенства:
$$x\in\left(-\frac32,-1\right)\cup\left(-\frac12,0\right).$$
Ответ
$$x\in\left(-\frac32,-1\right)\cup\left(-\frac12,0\right).$$
