Упр.1574 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1574. Решить неравенства:
      
      1) $$x^{\lg^2 x}-3\lg x+1>1000$$;
      
      2) $$3^{\lg x}+2<3^{\lg x^2+3}-2$$.

1) Рассмотрим неравенство $$x^{(\lg x)^2-3\lg x+1}>1000.$$

Так как $$1000=10^3,$$ а при $$x>0,\ x\ne 1$$ можно взять логарифм по основанию $$x,$$ получаем:

$$(\lg x)^2-3\lg x+1>\log_x 1000=\frac{\lg 1000}{\lg x}=\frac{3}{\lg x}.$$

Положим $$y=\lg x.$$ Тогда

$$y^2-3y+1>\frac{3}{y}.$$

Умножим на $$y$$ и перенесём всё в одну сторону:

$$y^3-3y^2+y-3>0 \\\\ y^2(y-3)+(y-3)>0 \\\\ (y-3)(y^2+1)>0.$$

Так как $$y^2+1>0$$ при любом $$y,$$ то остаётся:

$$y-3>0 \quad \Rightarrow \quad y>3.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем:

$$\lg x>3 \quad \Rightarrow \quad x>10^3=1000.$$

2) Решим неравенство $$3^{\lg x+2}<3^{\lg x^2+5}-2.$$

Область определения: $$x>0.$$

Преобразуем:

$$3^{\lg x+2}-3^{\lg x^2+5}+2<0.$$

Положим $$t=\lg x+2.$$ Тогда $$\lg x^2=2\lg x,$$ и выражение принимает вид

$$3^t-3^{2t+1}+2<0.$$

Удобнее сразу перейти к замене $$u=3^{\lg x+2}.$$ Тогда $$u>0,$$ и неравенство сводится к квадратному:

$$3u^2-u-2>0.$$

Найдём корни:

$$D=1+24=25, \\\\ u_1=\frac{1-5}{6}=-\frac23,\qquad u_2=\frac{1+5}{6}=1.$$

Так как $$u>0,$$ подходит только

$$u>1.$$

Значит,

$$3^{\lg x+2}>1=3^0 \quad \Rightarrow \quad \lg x+2>0.$$

Отсюда

$$\lg x>-2 \quad \Rightarrow \quad x>10^{-2}=0{,}01.$$

Ответ: 1) $$x\in(1000;+\infty);$$ 2) $$x\in(0{,}01;+\infty).$$