Упр.1569 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) система
logy(x)+logx(y) =5/2,
x+y=a+a2;
2) система
x2+y2=a2,
logb(x) + logb(y)=2.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} \log_y x+\log_x y=\dfrac52,\\ x+y=a+a^2. \end{cases} $$
Пусть $$u=\log_y x$$. Тогда $$\log_x y=\dfrac1u$$, и первое уравнение принимает вид
$$ u+\frac1u=\frac52. $$
Умножим на $$2u$$:
$$ 2u^2-5u+2=0. $$
$$ D=25-16=9,\qquad u_{1,2}=\frac{5\pm3}{4}. $$
Получаем:
$$ u_1=\frac12,\qquad u_2=2. $$
Значит, либо
$$ \log_y x=\frac12 \Rightarrow x=\sqrt y, $$
либо
$$ \log_y x=2 \Rightarrow x=y^2. $$
1) Если $$x=\sqrt y$$, то $$y=x^2$$. Подставим во второе уравнение:
$$ x+x^2=a+a^2. $$
$$ x^2+x-(a+a^2)=0. $$
$$ D=1+4(a+a^2)=(2a+1)^2. $$
Тогда
$$ x=\frac{-1\pm(2a+1)}2. $$
Отсюда
$$ x=a \quad \text{или} \quad x=-a-1. $$
С учётом $$x=\sqrt y>0$$ подходит только $$x=a$$, значит $$a>0$$. Тогда
$$ y=a^2. $$
Чтобы логарифмы были определены, нужно $$y\neq1$$, то есть $$a\neq1$$.
Получаем решение:
$$ (a,\ a^2). $$
2) Если $$x=y^2$$, то $$y^2+y=a+a^2$$. Аналогично:
$$ y^2+y-(a+a^2)=0, $$
$$ D=(2a+1)^2, $$
и
$$ y=a \quad \text{или} \quad y=-a-1. $$
С учётом $$y>0$$ подходит только $$y=a$$, значит $$a>0$$ и $$a\neq1$$. Тогда
$$ x=a^2. $$
Получаем второе решение:
$$ (a^2,\ a). $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ \log_b x+\log_b y=2. \end{cases} $$
Второе уравнение равносильно
$$ \log_b(xy)=2 \Rightarrow xy=b^2. $$
Тогда
$$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ xy=b^2. \end{cases} $$
Положим $$z=y^2$$. Тогда $$x=\dfrac{b^2}{y}$$, и из первого уравнения получаем
$$ \left(\frac{b^2}{y}\right)^2+y^2=a^2. $$
Умножим на $$y^2$$:
$$ b^4+y^4=a^2y^2. $$
Пусть $$z=y^2$$. Тогда
$$ z^2-a^2z+b^4=0. $$
$$ D=a^4-4b^4, $$
поэтому
$$ z_{1,2}=\frac{a^2\pm\sqrt{a^4-4b^4}}{2}. $$
Следовательно,
$$ y=\pm\sqrt{\frac{a^2\pm\sqrt{a^4-4b^4}}{2}}, \qquad x=\frac{b^2}{y}. $$
Чтобы решение существовало, нужно:
$$ b>0,\quad b\neq1,\quad a^4-4b^4\ge0. $$
То есть
$$ a^2\ge2b^2. $$