Упр.1568 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1568 Уравнение 2х3 + mх2 + nх + 12 = 0 имеет корни х1 = 1, х2 = -2. Найти третий корень этого уравнения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1568 1111

По теореме Виета для уравнения

$$2x^3+mx^2+nx+12=0$$

с корнями $$x_1=1$$ и $$x_2=-2$$ подставим эти значения в уравнение.

При $$x=1$$:

$$2\cdot 1^3+m\cdot 1^2+n\cdot 1+12=0$$

$$m+n+14=0$$

При $$x=-2$$:

$$2\cdot (-2)^3+m\cdot (-2)^2+n\cdot (-2)+12=0$$

$$-16+4m-2n+12=0$$

$$4m-2n-4=0$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} m+n+14=0,\\ 4m-2n-4=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$m=-14-n$$. Подставим во второе:

$$4(-14-n)-2n-4=0$$

$$-56-4n-2n-4=0$$

$$-6n-60=0$$

$$n=-10$$

Тогда

$$m=-14-(-10)=-4$$

Итак, уравнение имеет вид:

$$2x^3-4x^2-10x+12=0$$

Разделим на $$2$$:

$$x^3-2x^2-5x+6=0$$

Так как $$x_1=1$$ и $$x_2=-2$$ — корни, разложим многочлен на множители:

$$x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)$$

Следовательно, третий корень:

$$x_3=3$$

Ответ

$$3$$