Упр.1565 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1565 sin3x/sinx — sinx/sin3x = 2cos2x

Рассмотрим уравнение

$$\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\sin 3x}=2\cos 2x.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{\sin^2 3x-\sin^2 x}{\sin x\cdot \sin 3x}=2\cos 2x.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$\frac{(\sin 3x-\sin x)(\sin 3x+\sin x)}{\sin x\cdot \sin 3x}=2\cos 2x.$$

По формулам суммы и разности синусов:

$$\sin 3x-\sin x=2\cos 2x\sin x,$$

$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x.$$

Тогда

$$\frac{2\cos 2x\sin x\cdot 2\sin 2x\cos x}{\sin x\cdot \sin 3x}=2\cos 2x,$$

или

$$\frac{2\cos 2x\left(\sin^2 2x-\sin x\cdot \sin 3x\right)}{\sin x\cdot \sin 3x}=0.$$

Отсюда получаем систему:

$$ \begin{cases} 2\cos 2x\left(\sin^2 2x-\sin x\cdot \sin 3x\right)=0,\\ \sin x\cdot \sin 3x\ne 0. \end{cases} $$

Рассмотрим случаи.

1) $$\cos 2x=0.$$ Тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка ОДЗ: при этих значениях $$\sin x\ne 0$$ и $$\sin 3x\ne 0$$, значит, все они подходят.

2) $$\sin^2 2x-\sin x\cdot \sin 3x=0.$$

После преобразований получаем

$$4\sin x\cos^2 x-\sin 3x=0,$$

$$4\sin x(1-\sin^2 x)-(3\sin x-4\sin^3 x)=0,$$

$$\sin x=0.$$

Но это противоречит ОДЗ $$\sin x\ne 0$$, поэтому этот случай не даёт решений.

Итак, решение уравнения:

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$