Упр.1564 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) tg2x+ctgx=8cos2x.

1. Преобразуем левую часть:

   $$ \frac{\sin 3x}{\cos 2x}+\frac{\cos 3x}{\sin 2x}=\frac{2}{\sin 3x} $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{\sin 3x\cdot \sin 2x+\cos 3x\cdot \cos 2x}{\sin 2x\cdot \cos 2x}=\frac{2}{\sin 3x} $$

   Используем формулу:

   $$ \sin 3x\cdot \sin 2x+\cos 3x\cdot \cos 2x=\cos(3x-2x)=\cos x $$

   Тогда

   $$ \frac{\cos x}{\sin 2x\cdot \cos 2x}-\frac{2}{\sin 3x}=0 $$

   Приведём к общему знаменателю и упростим:

   $$ \frac{\cos x\cdot \sin 3x-2\sin 2x\cdot \cos 2x}{\sin 2x\cdot \cos 2x\cdot \sin 3x}=0 $$

   Так как $$2\sin 2x\cdot \cos 2x=\sin 4x,$$ получаем

   $$ \frac{\cos x\cdot \sin 3x-\sin 4x}{\sin 2x\cdot \cos 2x\cdot \sin 3x}=0 $$

   Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$ и преобразование:

   $$ \cos x\cdot \sin 3x-\sin 4x=0 $$

   Раскроем $$\sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x$$:

   $$ \cos x(\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x)-\sin 4x=0 $$

   После преобразований получаем:

   $$ \sin x\,(2\cos^2 x-1)=0 $$

   Отсюда

   $$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0 $$

   Проверка области допустимых значений показывает, что подходят только значения, при которых исходные знаменатели не обращаются в нуль. В итоге получаем:

   $$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$

2. Решим уравнение:

   $$ \tg 2x+\ctg x=8\cos^2 x $$

   Запишем через синусы и косинусы:

   $$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x}+\frac{\cos x}{\sin x}=8\cos^2 x $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{\sin 2x\cdot \sin x+\cos x\cdot \cos 2x}{\cos 2x\cdot \sin x}=8\cos^2 x $$

   По формуле $$\cos(2x-x)=\cos x$$ имеем:

   $$ \frac{\cos x}{\cos 2x\cdot \sin x}=8\cos^2 x $$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$ \cos x\left(\frac{1}{\cos 2x\cdot \sin x}-8\cos x\right)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \cos x=0 $$

   или

   $$ \frac{1}{\cos 2x\cdot \sin x}-8\cos x=0 $$

   Во втором случае после преобразований получаем:

   $$ 1-2\sin 4x=0 $$

   то есть

   $$ \sin 4x=\frac12 $$

   Тогда

   $$ 4x=(-1)^m\frac{\pi}{6}+\pi m,\quad m\in \mathbb Z $$

   Следовательно,

   $$ x=(-1)^m\frac{\pi}{24}+\frac{\pi m}{4},\quad m\in \mathbb Z $$

   С учётом ОДЗ также получаем

   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z;\quad x=(-1)^m\frac{\pi}{24}+\frac{\pi m}{4},\ m\in \mathbb Z.$$