Упр.1564 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\sin 3x}{\sin x}+\frac{\cos 3x}{\sin 2x}=\frac{2}{\sin 3x}$$
2. $$\operatorname{tg} 2x+\operatorname{ctg} x=8\cos 2x$$

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\sin 3x}{\cos 2x}+\frac{\cos 3x}{\sin 2x}=\frac{2}{\sin 3x}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{\sin 3x\cdot \sin 2x+\cos 3x\cdot \cos 2x}{\sin 2x\cdot \cos 2x}=\frac{2}{\sin 3x}.$$

Так как $$\sin 3x\cdot \sin 2x+\cos 3x\cdot \cos 2x=\cos(3x-2x)=\cos x,$$ получаем

$$\frac{\cos x}{\sin 2x\cdot \cos 2x}-\frac{2}{\sin 3x}=0.$$

Умножим на $$\sin 2x\cdot \cos 2x\cdot \sin 3x$$:

$$\cos x\sin 3x-2\sin 2x\cos 2x=0.$$

Используем формулы $$2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x$$ и $$\sin 3x-\sin x=2\cos 2x\sin x$$:

$$\cos x\sin 3x-\sin 4x=0,$$

$$\sin 3x\cos x-\sin 4x=0.$$

После преобразований получаем

$$\sin x\cos 3x=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

2) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},$$

$$n\in \mathbb Z.$$

С учётом области допустимых значений получаем решение:

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\tg 2x+\ctg x=8\cos^2 x.$$

Запишем через синусы и косинусы:

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}+\frac{\cos x}{\sin x}=8\cos^2 x.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin 2x\cdot \sin x+\cos x\cdot \cos 2x}{\cos 2x\cdot \sin x}=8\cos^2 x.$$

Так как $$\sin 2x\cdot \sin x+\cos x\cdot \cos 2x=\cos(2x-x)=\cos x,$$ имеем

$$\frac{\cos x}{\cos 2x\cdot \sin x}=8\cos^2 x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\cos x\left(\frac{1}{\cos 2x\cdot \sin x}-8\cos x\right)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \frac{1}{\cos 2x\cdot \sin x}=8\cos x.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

2) $$\frac{1}{\cos 2x\cdot \sin x}=8\cos x \Rightarrow 1=8\cos 2x\cdot \sin x\cos x.$$

Так как $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ то

$$1=4\sin 2x\cos 2x,$$

$$1=2\sin 4x,$$

$$\sin 4x=\frac12.$$

Следовательно,

$$4x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb Z.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$ 2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\ n\in \mathbb Z.$$