Упр.1563 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin4x/sin(x-пи/4) = корень 2 (six+cosx).

1. $$\tg x+\ctg x=2\ctg 4x$$

   Преобразуем левую и правую части:

   $$ \tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x} =\frac{1}{\sin x\cos x} $$

   $$ 2\ctg 4x=2\cdot \frac{\cos 4x}{\sin 4x} =2\cdot \frac{\cos^2 2x-\sin^2 2x}{2\sin 2x\cos 2x} =\frac{\cos^2 2x-\sin^2 2x}{\sin 2x\cos 2x} $$

   Тогда

   $$ \frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{\cos^2 2x-\sin^2 2x}{\sin 2x\cos 2x} $$

   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

   $$ \frac{2}{\sin 2x}=\frac{\cos^2 2x-\sin^2 2x}{\sin 2x\cos 2x} $$

   $$ 2\cos 2x=\cos^2 2x-\sin^2 2x $$

   Обозначим $$y=\cos 2x.$$ Тогда $$\sin^2 2x=1-y^2,$$ и

   $$ 2y= y^2-(1-y^2)=2y^2-1 $$

   $$ 2y^2-2y-1=0 $$

   $$ y=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}{2} $$

   Значение $$\frac{1+\sqrt3}{2}>1$$ не подходит, поэтому

   $$ \cos 2x=\frac{1-\sqrt3}{2} $$

   $$ 2x=\pm \arccos \frac{1-\sqrt3}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   $$ x=\pm \frac12 \arccos \frac{1-\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   При этом $$\sin 2x\neq 0$$ и $$\cos 2x\neq 0,$$ значит найденные значения допустимы.

2. $$\frac{\sin 4x}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\sqrt2(\sin x+\cos x)$$

   Используем формулу

   $$ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt2} $$

   Тогда

   $$ \frac{\sin 4x}{\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt2}}=\sqrt2(\sin x+\cos x) $$

   $$ \frac{\sin 4x}{\sin x-\cos x}=\sin x+\cos x $$

   $$ \sin 4x=(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=\sin^2 x-\cos^2 x $$

   $$ \sin 4x+\cos 2x=0 $$

   Так как $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x,$$ а $$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x,$$ получаем

   $$ 2\sin 2x\cos 2x+\cos 2x=0 $$

   $$ \cos 2x(2\sin 2x+1)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=-\frac12 $$

   1) Если $$\cos 2x=0,$$ то

   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   $$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

   Но при этих значениях $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0,$$ поэтому они не подходят.

   2) Если $$\sin 2x=-\frac12,$$ то

   $$ 2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   $$ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

   Эти значения удовлетворяют области определения.

Ответ

1) $$x=\pm \frac12 \arccos \frac{1-\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$