Упр.1561 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$16\sin 2x+16\cos 2x=10$$
2. $$\left(\sqrt{3+\sqrt{8}}\right)^x+\left(\sqrt{3-\sqrt{8}}\right)^x=34$$

1) Рассмотрим уравнение $$16^{\sin^2 x}+16^{\cos^2 x}=10.$$

Умножим обе части на $$16^{\cos^2 x}$$:

$$16^{\sin^2 x+\cos^2 x}+16^{2\cos^2 x}=10\cdot 16^{\cos^2 x}.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$16+16^{2\cos^2 x}=10\cdot 16^{\cos^2 x}.$$

Пусть $$y=16^{\cos^2 x}.$$ Тогда

$$y^2-10y+16=0.$$

$$D=100-64=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}, \quad y_1=2,\; y_2=8.$$

1) Если $$16^{\cos^2 x}=2,$$ то

$$16^{\cos^2 x}=2 \;\Rightarrow\; 2^{4\cos^2 x}=2^1 \;\Rightarrow\; 4\cos^2 x=1,$$

$$\cos^2 x=\frac14,\quad \cos x=\pm \frac12.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Если $$16^{\cos^2 x}=8,$$ то

$$16^{\cos^2 x}=8 \;\Rightarrow\; 2^{4\cos^2 x}=2^3 \;\Rightarrow\; 4\cos^2 x=3,$$

$$\cos^2 x=\frac34,\quad \cos x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Рассмотрим уравнение $$\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^x+\left(\sqrt{3-\sqrt8}\right)^x=34.$$

Так как

$$3+\sqrt8=3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2,$$

$$3-\sqrt8=3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2=(1-\sqrt2)^2,$$

то

$$\left(1+\sqrt2\right)^x+\left|1-\sqrt2\right|^x=34.$$

Поскольку $$|1-\sqrt2|=\sqrt2-1=\frac1{1+\sqrt2},$$ получаем

$$\left(1+\sqrt2\right)^x+\left(1+\sqrt2\right)^{-x}=34.$$

Пусть $$y=(1+\sqrt2)^x.$$ Тогда

$$y+\frac1y=34 \;\Rightarrow\; y^2-34y+1=0.$$

$$D=34^2-4=1152=(24\sqrt2)^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{34\pm 24\sqrt2}{2}=17\pm 12\sqrt2.$$

Заметим, что

$$17+12\sqrt2=(1+\sqrt2)^4,\qquad 17-12\sqrt2=(1+\sqrt2)^{-4}.$$

Следовательно,

$$x=4 \quad \text{или} \quad x=-4.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$x=\pm 4.$$