Упр.1561 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) (корень(3+ (корень 8))x + (корень(3- (корень 8))x=34.
1) Решим уравнение:
$$16\sin^2 x+16\cos^2 x=10.$$
Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$16(\sin^2 x+\cos^2 x)=10,$$
$$16=10,$$
что невозможно. Значит, в записи уравнения имеется опечатка, и по изображению решается уравнение
$$16^{\sin^2 x}+16^{\cos^2 x}=10.$$
Тогда:
$$16^{\sin^2 x}+16^{\cos^2 x}=10.$$
Умножим на $$16^{\cos^2 x}$$:
$$16^{\sin^2 x+\cos^2 x}+16^{2\cos^2 x}=10\cdot 16^{\cos^2 x},$$
$$16+16^{2\cos^2 x}=10\cdot 16^{\cos^2 x}.$$
Пусть $$y=16^{\cos^2 x}$$. Тогда
$$y^2-10y+16=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 16=36,$$
$$y_1=\frac{10-6}{2}=2,\qquad y_2=\frac{10+6}{2}=8.$$
1) Если $$16^{\cos^2 x}=2,$$ то
$$2^{4\cos^2 x}=2^1,$$
$$4\cos^2 x=1,$$
$$\cos^2 x=\frac14,$$
$$\cos x=\pm \frac12,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
2) Если $$16^{\cos^2 x}=8,$$ то
$$2^{4\cos^2 x}=2^3,$$
$$4\cos^2 x=3,$$
$$\cos^2 x=\frac34,$$
$$\cos x=\pm \frac{\sqrt3}{2},$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
2) Решим уравнение:
$$\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^x+\left(\sqrt{3-\sqrt8}\right)^x=34.$$
Так как
$$3+\sqrt8=3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2,$$
$$3-\sqrt8=3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2=(1-\sqrt2)^2,$$
то
$$|1+\sqrt2|^x+|1-\sqrt2|^x=34,$$
$$ (1+\sqrt2)^x+(1-\sqrt2)^x=34.$$
Пусть $$y=(1+\sqrt2)^x$$. Тогда
$$ (1-\sqrt2)^x=\frac{1}{(1+\sqrt2)^x}= \frac{1}{y},$$
и удобнее перейти к виду
$$ (1+\sqrt2)^{2x}-34(1+\sqrt2)^x+1=0.$$
Пусть теперь $$t=(1+\sqrt2)^x$$. Тогда
$$t^2-34t+1=0.$$
$$D=34^2-4=1152=(24\sqrt2)^2,$$
$$t_{1,2}=\frac{34\pm 24\sqrt2}{2}=17\pm 12\sqrt2.$$
Заметим, что
$$17+12\sqrt2=(3+2\sqrt2)^2=(1+\sqrt2)^4,$$
$$17-12\sqrt2=(3-2\sqrt2)^2=(1-\sqrt2)^4=(1+\sqrt2)^{-4}.$$
Тогда
$$ (1+\sqrt2)^x=(1+\sqrt2)^4 \quad \text{или} \quad (1+\sqrt2)^x=(1+\sqrt2)^{-4},$$
откуда
$$x=4 \quad \text{или} \quad x=-4.$$
Ответ
1) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
2) $$x=\pm 4.$$
