Упр.1560 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить уравнение (1560—1566).
- 1) $$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-6x+9}=6$$; 2) $$\sqrt[3]{(8-x)^2}-\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}+\sqrt[3]{(27+x)^2}=7$$; 3) $$\sqrt[4]{8-x}+\sqrt[4]{89+x}=5$$.
1) $$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-6x+9}=6$$
Преобразуем подкоренные выражения:
$$\sqrt{(x+2)^2}-\sqrt{(x-3)^2}=6$$
$$|x+2|-|x-3|=6$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 3,$$ то
$$x+2-(x-3)=6,$$
$$5=6,$$
что невозможно.
Если $$-2\le x<3,$$ то
$$x+2-(3-x)=6,$$
$$2x-1=6,$$
$$x=\frac{7}{2},$$
но это значение не подходит условию $$x<3.$$
Если $$x<-2,$$ то
$$-(x+2)-(3-x)=6,$$
$$-5=6,$$
что невозможно.
Следовательно, корней нет.
2) $$\sqrt[3]{(8-x)^2}-\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}+\sqrt[3]{(27+x)^2}=7$$
Пусть
$$a=\sqrt[3]{8-x},\qquad b=\sqrt[3]{27+x}.$$
Тогда уравнение принимает вид
$$a^2-ab+b^2=7,$$
а также
$$a^3+b^3=35.$$
Используем формулу
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
Получаем
$$35=(a+b)\cdot 7,$$
$$a+b=5.$$
Тогда
$$a=5-b.$$
Подставим в равенство $$a^2-ab+b^2=7$$:
$$(5-b)^2-b(5-b)+b^2=7,$$
$$25-10b+b^2-5b+b^2+b^2=7,$$
$$3b^2-15b+18=0,$$
$$b^2-5b+6=0,$$
$$(b-2)(b-3)=0.$$
Отсюда $$b=2$$ или $$b=3.$$
Если $$b=2,$$ то
$$\sqrt[3]{27+x}=2,$$
$$27+x=8,$$
$$x=-19.$$
Если $$b=3,$$ то
$$\sqrt[3]{27+x}=3,$$
$$27+x=27,$$
$$x=0.$$
Ответ: $$x=-19$$ или $$x=0.$$
3) $$\sqrt[4]{8-x}+\sqrt[4]{89+x}=5$$
Пусть
$$a=\sqrt[4]{8-x},\qquad b=\sqrt[4]{89+x}.$$
Тогда
$$a+b=5,$$
$$a^4+b^4=97.$$
Возведём сумму в квадрат:
$$a^2+2ab+b^2=25.$$
Обозначим $$s=a+b=5,$$ тогда $$a=5-b.$$ Подставим в равенство $$a^4+b^4=97$$:
$$(5-b)^4+b^4=97,$$
$$625-500b+150b^2-20b^3+2b^4=97,$$
$$2b^4-20b^3+150b^2-500b+528=0,$$
$$b^4-10b^3+75b^2-250b+264=0,$$
$$(b-2)(b-3)(b^2-5b+44)=0.$$
Из последних множителей действительные корни дают только
$$b=2 \quad \text{или} \quad b=3.$$
Если $$b=2,$$ то
$$\sqrt[4]{89+x}=2,$$
$$89+x=16,$$
$$x=-73.$$
Если $$b=3,$$ то
$$\sqrt[4]{89+x}=3,$$
$$89+x=81,$$
$$x=-8.$$
Ответ: $$x=-73$$ или $$x=-8.$$
Ответ
1) корней нет; 2) $$x=-19,\;0$$; 3) $$x=-73,\;-8$$.
