Упр.1560 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1560 1) корень (х2 + 4x + 4) — корень(х2 — 6х + 9) =6;
2) корень 3 степени ((8 — х)2) — корень 3 степени((8 — х) (27 + х)) + корень 3 степени(27 + х)2 = 7;
3) корень 4 степени(8-x) + корень 4 степени (89 + x) = 5.

1. $$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-6x+9}=6$$

   $$|x+2|-|x-3|=6$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x\ge 3$$, то
   $$x+2-(x-3)=6,$$
   откуда
   $$5=6,$$
   что невозможно.

   2) Если $$-2\le x<3$$, то
   $$x+2-(3-x)=6,$$
   $$2x-1=6,$$
   $$x=\frac72.$$
   Но $$\frac72\notin[-2;3)$$, значит, этот корень не подходит.

   3) Если $$x<-2$$, то
   $$-(x+2)+(3-x)=6,$$
   $$-2x+1=6,$$
   $$x=-\frac52.$$
   Но $$-\frac52<-2$$, значит, это значение подходит? Проверим:
   $$|-\tfrac52+2|-|-\tfrac52-3|=\tfrac12-\tfrac{11}{2}=-5\ne 6.$$
   Следовательно, и здесь решений нет.

   Уравнение не имеет решений.

2. $$\sqrt[3]{(8-x)^2}-\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}+\sqrt[3]{(27+x)^2}=7$$

   Пусть $$a=\sqrt[3]{8-x}$$, $$b=\sqrt[3]{27+x}$$. Тогда
   $$a^2-ab+b^2=7,$$
   а также
   $$a^3+b^3=35.$$

   Используем формулу:
   $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
   Тогда
   $$35=(a+b)\cdot 7,$$
   значит,
   $$a+b=5.$$

   Получаем систему:
   $$\begin{cases} a+b=5,\\ a^2-ab+b^2=7. \end{cases}$$

   Подставим $$b=5-a$$:
   $$a^2-a(5-a)+(5-a)^2=7,$$
   $$3a^2-15a+18=0,$$
   $$a^2-5a+6=0,$$
   $$a=2 \text{ или } a=3.$$

   Если $$a=2$$, то
   $$\sqrt[3]{8-x}=2,$$
   $$8-x=8,$$
   $$x=0.$$

   Если $$a=3$$, то
   $$\sqrt[3]{8-x}=3,$$
   $$8-x=27,$$
   $$x=-19.$$

3. $$\sqrt[4]{8-x}+\sqrt[4]{89+x}=5$$

   Область определения:
   $$8-x\ge 0,\quad 89+x\ge 0,$$
   значит,
   $$-89\le x\le 8.$$

   Пусть
   $$a=\sqrt[4]{8-x},\quad b=\sqrt[4]{89+x}.$$
   Тогда
   $$a+b=5,$$
   а также
   $$a^4+b^4=97.$$

   Возведём сумму в квадрат:
   $$a^2+2ab+b^2=25.$$
   Обозначим $$u=ab$$. Тогда
   $$a^2+b^2=25-2u.$$
   С другой стороны,
   $$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2,$$
   то есть
   $$97=(25-2u)^2-2u^2.$$
   Получаем
   $$u^2-50u+264=0,$$
   $$u=6 \text{ или } u=44.$$

   Но при $$a+b=5$$ имеем $$ab\le \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{25}{4},$$
   значит, $$u=44$$ не подходит. Следовательно,
   $$ab=6.$$

   Тогда числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
   $$t^2-5t+6=0,$$
   откуда
   $$t=2 \text{ или } t=3.$$

   Если $$a=2$$, то
   $$\sqrt[4]{8-x}=2,$$
   $$8-x=16,$$
   $$x=-8.$$

   Если $$a=3$$, то
   $$\sqrt[4]{8-x}=3,$$
   $$8-x=81,$$
   $$x=-73.$$

Ответ

1) Решений нет; 2) $$x=0,\,-19$$; 3) $$x=-8,\,-73$$.