Упр.1559 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти первообразную функции: 1) $$y=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$$; 2) $$y=\frac{3}{4x-1}$$.

1) Найдём первообразную для функции $$y=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}.$$

Используем формулу $$\int \frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C.$$ Тогда

$$F(x)=\int \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right)dx=\ln|x+1|-\ln|x-1|+C.$$

Объединим логарифмы:

$$F(x)=\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C.$$

2) Найдём первообразную для функции $$y=\frac{3}{4x-1}.$$

Положим $$u=4x-1,$$ тогда $$du=4\,dx,$$ и

$$F(x)=\int \frac{3}{4x-1}\,dx=\frac{3}{4}\int \frac{du}{u}=\frac{3}{4}\ln|u|+C=\frac{3}{4}\ln|4x-1|+C.$$

Ответ

1) $$F(x)=\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C.$$

2) $$F(x)=\frac{3}{4}\ln|4x-1|+C.$$