Упр.1555 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Определить знак числа $$f'(2)$$, если:

1. $$f(x)=e^{3-2x}\cdot x^2$$;
2. $$f(x)=\frac{x^2}{e^{1-x}}$$.

1. $$f(x)=e^{3-2x}\cdot x^2$$

   Найдём производную по правилу произведения:

   $$f'(x)=\left(e^{3-2x}\right)’x^2+e^{3-2x}(x^2)’$$

   $$f'(x)=-2e^{3-2x}x^2+e^{3-2x}\cdot 2x=2xe^{3-2x}(1-x)$$

   Подставим $$x=2$$:

   $$f'(2)=2\cdot 2\cdot e^{3-4}(1-2)=4e^{-1}\cdot(-1)=-\frac{4}{e}$$

   Следовательно, $$f'(2)<0$$.

2. $$f(x)=\frac{x^2}{e^{1-x}}$$

   Найдём производную по правилу производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(x^2)’e^{1-x}-x^2\left(e^{1-x}\right)’}{\left(e^{1-x}\right)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{2xe^{1-x}-x^2(-e^{1-x})}{\left(e^{1-x}\right)^2}=\frac{2x+x^2}{e^{1-x}}$$

   Подставим $$x=2$$:

   $$f'(2)=\frac{2\cdot 2+2^2}{e^{1-2}}=\frac{4+4}{e^{-1}}=8e$$

   Следовательно, $$f'(2)>0$$.

Ответ: 1) $$f'(2)<0$$; 2) $$f'(2)>0$$.