Упр.155 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{x}-x=-12$$
2. $$x+\sqrt{x}=2(x-1)$$
3. $$\sqrt{x-1}=x-3$$
4. $$\sqrt{6+x-x^2}=1-x$$

1) $$\sqrt{x}-x=-12$$

$$\sqrt{x}=x-12$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x=(x-12)^2$$

$$x=x^2-24x+144$$

$$x^2-25x+144=0$$

$$D=25^2-4\cdot144=625-576=49$$

$$x_1=\frac{25-7}{2}=9,\qquad x_2=\frac{25+7}{2}=16$$

Так как $$\sqrt{x}=x-12$$, то должно быть $$x-12\ge 0$$, значит $$x\ge 12$$. Подходит только $$x=16$$.

Ответ: $$16$$.

2) $$x+\sqrt{x}=2(x-1)$$

$$\sqrt{x}=2x-2-x=x-2$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x=(x-2)^2$$

$$x=x^2-4x+4$$

$$x^2-5x+4=0$$

$$D=5^2-4\cdot4=25-16=9$$

$$x_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad x_2=\frac{5+3}{2}=4$$

Из условия $$\sqrt{x}=x-2$$ получаем $$x-2\ge 0$$, то есть $$x\ge 2$$. Подходит только $$x=4$$.

Ответ: $$4$$.

3) $$\sqrt{x-1}=x-3$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x-1=(x-3)^2$$

$$x-1=x^2-6x+9$$

$$x^2-7x+10=0$$

$$D=7^2-4\cdot10=49-40=9$$

$$x_1=\frac{7-3}{2}=2,\qquad x_2=\frac{7+3}{2}=5$$

Так как $$\sqrt{x-1}=x-3$$, то должно быть $$x-3\ge 0$$, значит $$x\ge 3$$. Подходит только $$x=5$$.

Ответ: $$5$$.

4) $$\sqrt{6+x-x^2}=1-x$$

Возведём обе части в квадрат:

$$6+x-x^2=(1-x)^2$$

$$6+x-x^2=1-2x+x^2$$

$$2x^2-3x-5=0$$

$$D=3^2+4\cdot2\cdot5=9+40=49$$

$$x_1=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad x_2=\frac{3+7}{4}=\frac{5}{2}$$

Из условия $$1-x\ge 0$$ получаем $$x\le 1$$. Подходит только $$x=-1$$.

Ответ: $$-1$$.