Упр.1540 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Найдём точку пересечения графиков:

$$\sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$

Тогда площадь фигуры равна

$$S=\int_{4}^{9}(\sqrt{x}-2)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-2x\right)\Bigg|_{4}^{9}.$$

Подставим пределы:

$$S=\left(\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}-18\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-8\right) =\left(18-18\right)-\left(\frac{16}{3}-8\right) =\frac{8}{3}.$$

Значит,

$$S=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}.$$

2) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2+3=x+5,$$

$$x^2-x-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$x_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{1+3}{2}=2.$$

На отрезке $$[-1;2]$$ сверху расположена прямая $$y=x+5$$, снизу — парабола $$y=x^2+3$$. Тогда

$$S=\int_{-1}^{2}\bigl((x+5)-(x^2+3)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\left(-\frac{8}{3}+2+4\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right) =\frac{9}{2}.$$

$$S=\frac{9}{2}=4{,}5.$$