Упр.1540 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) y=x2+3, y=x+5.

1. Найдём точку пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2$$:

   $$\sqrt{x}=2,\quad x=4.$$

   Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=\sqrt{x},\ y=2,\ x=9,$$ равна

   $$ S=\int\limits_{4}^{9}(\sqrt{x}-2)\,dx =\int\limits_{4}^{9}\left(x^{\frac12}-2\right)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{\frac32}-2x\right)\Bigg|_{4}^{9}. $$

   $$ S=\left(\frac{2}{3}\cdot 9^{\frac32}-18\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 4^{\frac32}-8\right) =\left(18-18\right)-\left(\frac{16}{3}-8\right) =\frac{8}{3}. $$

2. Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2+3$$ и $$y=x+5$$:

   $$x^2+3=x+5,$$

   $$x^2-x-2=0,$$

   $$ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9, $$

   $$ x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2},\quad x_1=-1,\ x_2=2. $$

   На отрезке $$[-1;2]$$ сверху находится прямая $$y=x+5$$, поэтому

   $$ S=\int\limits_{-1}^{2}\bigl((x+5)-(x^2+3)\bigr)\,dx =\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx. $$

   $$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\frac{9}{2}. $$

Ответ

1) $$\frac{8}{3}$$; 2) $$\frac{9}{2}$$.