Упр.154 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$x+1=\sqrt{1-x}$$
2. $$x=1+\sqrt{x+11}$$
3. $$\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}$$
4. $$\sqrt{x^2-x-3}=3$$

1) $$x+1=\sqrt{1-x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x+1)^2=1-x$$
$$x^2+2x+1=1-x$$
$$x^2+3x=0$$
$$x(x+3)=0$$

Получаем $$x=0$$ или $$x=-3$$. Проверим область допустимых значений: $$1-x\ge 0$$, значит $$x\le 1$$. Оба корня подходят, но при подстановке в исходное уравнение получаем:

$$0+1=\sqrt{1-0}$$ — верно,

$$-3+1=\sqrt{1-(-3)}$$ — неверно.

Следовательно, $$x=0$$.

2) $$x=1+\sqrt{x+11}$$

Перенесём 1 влево:

$$x-1=\sqrt{x+11}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x-1)^2=x+11$$
$$x^2-2x+1=x+11$$
$$x^2-3x-10=0$$
$$(x-5)(x+2)=0$$

Отсюда $$x=5$$ или $$x=-2$$. Но правая часть неотрицательна, значит $$x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge 1$$. Подходит только $$x=5$$.

3) $$\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+3=5-x$$
$$2x=2$$
$$x=1$$

Проверим ОДЗ: $$x+3\ge 0$$ и $$5-x\ge 0$$, то есть $$-3\le x\le 5$$. Значение $$x=1$$ подходит.

4) $$\sqrt{x^2-x-3}=3$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2-x-3=9$$
$$x^2-x-12=0$$
$$(x-4)(x+3)=0$$

Получаем $$x=4$$ или $$x=-3$$. Проверим:

$$\sqrt{4^2-4-3}=\sqrt{9}=3$$,

$$\sqrt{(-3)^2-(-3)-3}=\sqrt{9}=3$$.

Оба корня подходят.

Ответ

1) $$x=0$$; 2) $$x=5$$; 3) $$x=1$$; 4) $$x=-3,\ 4$$.