Упр.1538 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) $$y=\sqrt{x-1}$$, $$y=3-x$$, $$y=0$$; 2) $$y=-\frac{1}{x}$$, $$y=x^2$$, $$y=\frac{x^2}{8}$$.
1) Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x-1}$$ и $$y=3-x$$:
$$\sqrt{x-1}=3-x$$
Возведём в квадрат:
$$x-1=9-6x+x^2$$
$$x^2-7x+10=0$$
$$D=49-40=9,\quad x_1=2,\quad x_2=5$$
С учётом области определения и условия $$\sqrt{x-1}=3-x$$ получаем только $$x=2$$. Тогда точка пересечения с прямой и корнем: $$x=2$$, а с осью $$Ox$$ границы области дают $$x=1$$ и $$x=3$$.
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{1}^{2}\sqrt{x-1}\,dx+\int\limits_{2}^{3}(3-x)\,dx$$
$$\int \sqrt{x-1}\,dx=\int (x-1)^{1/2}dx=\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}$$
$$\int (3-x)\,dx=3x-\frac{x^2}{2}$$
Тогда
$$S=\left.\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}\right|_{1}^{2}+\left.\left(3x-\frac{x^2}{2}\right)\right|_{2}^{3} =\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$$
2) Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=-\frac{1}{x}$$, $$y=x^2$$ и $$y=\frac{x^2}{8}$$.
Точки пересечения:
$$-\frac{1}{x}=x^2 \;\Rightarrow\; x^3=-1 \;\Rightarrow\; x=-1$$
$$-\frac{1}{x}=\frac{x^2}{8} \;\Rightarrow\; x^3=-8 \;\Rightarrow\; x=-2$$
$$x^2=\frac{x^2}{8} \;\Rightarrow\; x=0$$
Площадь равна сумме двух интегралов:
$$S=\int\limits_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{8}\right)dx+\int\limits_{-1}^{0}\left(x^2-\frac{x^2}{8}\right)dx$$
$$S=\left(-\ln|x|-\frac{x^3}{24}\right)\Bigg|_{-2}^{-1}+\left(\frac{7x^3}{24}\right)\Bigg|_{-1}^{0}$$
$$S=\left(\ln 2-\frac{1}{24}\right)+\frac{7}{24}=\ln 2$$
Ответ
1) $$\frac{7}{6}$$; 2) $$\ln 2$$.
