Упр.1537 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) y=-x4+6×2-9.
$$y=\frac13x^3-x^2-3x+9$$
Область определения: $$x\in\mathbb R.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac13(-x)^3-(-x)^2-3(-x)+9=-\frac13x^3-x^2+3x+9.$$
Так как $$f(-x)\ne f(x)$$ и $$f(-x)\ne -f(x),$$ функция не является ни чётной, ни нечётной.
Найдём производную:
$$y'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3).$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=3.$$
Исследуем знак производной:
$$y'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>3,$$
$$y'(x)<0 \text{ при } -1<x<3.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$ (3,+\infty),$$ убывает на $$(-1,3).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-1)=\frac13(-1)^3-(-1)^2-3(-1)+9=-\frac13-1+3+9=\frac{29}{3},$$
$$y(3)=\frac13\cdot 3^3-3^2-3\cdot 3+9=9-9-9+9=0.$$
Следовательно, в точке $$x=-1$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.
$$y=-x^4+6x^2-9$$
Область определения: $$x\in\mathbb R.$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=-(-x)^4+6(-x)^2-9=-x^4+6x^2-9=f(x).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-4x^3+12x^2=-4x^2(x-3).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=3.$$
Так как $$-4x^2\le 0,$$ знак производной определяется множителем $$x-3.$$ Поэтому
$$y'(x)>0 \text{ при } x<3,\; x\ne 0,$$
$$y'(x)<0 \text{ при } x>3.$$
Функция возрастает на $$(-\infty,0)$$ и $$ (0,3),$$ убывает на $$ (3,+\infty).$$
В точке $$x=3$$ — максимум:
$$y(3)=-3^4+6\cdot 3^2-9=-81+54-9=-36.$$
В точке $$x=0$$ — минимум:
$$y(0)=-9.$$
Ответ
1) Функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$ (3,+\infty),$$ убывает на $$(-1,3);$$
максимум при $$x=-1,$$ $$y=\frac{29}{3};$$ минимум при $$x=3,$$ $$y=0.$$
2) Функция чётная; возрастает на $$(-\infty,0)$$ и $$ (0,3),$$ убывает на $$ (3,+\infty);$$ максимум при $$x=3,$$ $$y=-36;$$ минимум при $$x=0,$$ $$y=-9.$$
