Упр.1537 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac13x^3-x^2-3x+9.$$

Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$

Проверим чётность:

$$f(-x)=\frac13(-x)^3-(-x)^2-3(-x)+9=-\frac13x^3-x^2+3x+9.$$

Так как $$f(-x)\ne f(x)$$ и $$f(-x)\ne -f(x),$$ функция не является ни чётной, ни нечётной.

Найдём производную:

$$y'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3).$$

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=3.$$

Исследуем знак производной:

$$y'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>3,$$

$$y'(x)<0 \text{ при } -1<x<3.$$

Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty,-1)$$ и $$(3,+\infty),$$ убывает на $$(-1,3).$$

В точке $$x=-1$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.

Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-1)=\frac13(-1)^3-(-1)^2-3(-1)+9=-\frac13-1+3+9=\frac{32}{3},$$

$$y(3)=\frac13\cdot 3^3-3^2-3\cdot 3+9=9-9-9+9=0.$$

Для построения графика можно отметить точки:

$$(-3,0),\ (0,9),\ (3,0).$$

График проходит через эти точки, имеет максимум в точке $$(-1,\frac{32}{3})$$ и минимум в точке $$(3,0).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=-x^4+6x^2-9.$$

Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$

Проверим чётность:

$$f(-x)=-(-x)^4+6(-x)^2-9=-x^4+6x^2-9=f(x).$$

Следовательно, функция чётная.

Найдём производную:

$$y'(x)=-4x^3+12x^2=-4x^2(x-3).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=3.$$

Исследуем знак производной:

$$y'(x)>0 \text{ при } x<3,\ x\ne 0,$$

$$y'(x)<0 \text{ при } x>3.$$

Так как функция чётная, поведение симметрично относительно оси $$Oy,$$ поэтому также получаем точку максимума при $$x=-3.$$

Функция возрастает на промежутках $$(-\infty,-3)$$ и $$(0,3),$$ убывает на $$(-3,0)$$ и $$(3,+\infty).$$

Точки экстремума:

$$x=\pm\sqrt3$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума.

Найдём значения функции:

$$y(\pm\sqrt3)=-(\sqrt3)^4+6(\sqrt3)^2-9=-9+18-9=0,$$

$$y(0)=-9.$$

Для построения графика можно отметить точки:

$$(1,-4),\ (3,-36).$$

График симметричен относительно оси $$Oy,$$ имеет максимумы в точках $$(\pm\sqrt3,0)$$ и минимум в точке $$(0,-9).$$