Упр.1536 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) y=x4-2×3-3.
$$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=-\frac{(-x)^4}{4}+(-x)^2=-\frac{x^4}{4}+x^2=f(x).$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac14\cdot 4x^3+2x=2x-x^3=x(2-x^2).$$
Критические точки:
$$x(2-x^2)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm\sqrt2.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-\sqrt2 \text{ и } 0<x<\sqrt2,$$
$$y'<0 \text{ при } -\sqrt2<x<0 \text{ и } x>\sqrt2.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-\sqrt2)\cup(0,\sqrt2),$$ убывает на $$(-\sqrt2,0)\cup(\sqrt2,+\infty).$$
Найдём значения в стационарных точках:
$$y(\pm\sqrt2)=-\frac{(\sqrt2)^4}{4}+(\sqrt2)^2=-\frac{4}{4}+2=1,$$
$$y(0)=0.$$
Следовательно, точки $$x=\pm\sqrt2$$ — точки максимума, а $$x=0$$ — точка минимума.
Для построения графика удобно отметить точки:
$$x=2,\; y=0;\qquad x=3,\; y=-\frac{45}{4}=-11{,}25.$$
$$y=x^4-2x^2-3$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-3=x^4-2x^2-3=f(x).$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$4x(x^2-1)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm1.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } -1<x<0 \text{ и } x>1,$$
$$y'<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } 0<x<1.$$
Значит, функция возрастает на $$(-1,0)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$(-\infty,-1)\cup(0,1).$$
Найдём значения в стационарных точках:
$$y(\pm1)=1-2-3=-4,$$
$$y(0)=-3.$$
Следовательно, точка $$x=0$$ — точка максимума, а точки $$x=\pm1$$ — точки минимума.
Для построения графика удобно отметить точки:
$$x=-2,\; y=5;\qquad x=2,\; y=5.$$
Ответ
1) Функция чётная; возрастает на $$(-\infty,-\sqrt2)\cup(0,\sqrt2),$$ убывает на $$(-\sqrt2,0)\cup(\sqrt2,+\infty);$$ максимумы при $$x=\pm\sqrt2,$$ минимум при $$x=0.$$
2) Функция чётная; возрастает на $$(-1,0)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$(-\infty,-1)\cup(0,1);$$ максимум при $$x=0,$$ минимумы при $$x=\pm1.$$
