Упр.1535 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Исследовать функцию $$y=f(x)$$ и построить её график:
1) $$f(x)=4x^3+6x^2$$;
2) $$f(x)=3x^2-2x^3$$.
1) $$f(x)=4x^3+6x^2$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=4(-x)^3+6(-x)^2=-4x^3+6x^2,$$
значит, функция ни чётная, ни нечётная.
Найдём производную:
$$f'(x)=12x^2+12x=12x(x+1).$$
Критические точки:
$$12x(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=0.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>0,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } -1<x<0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$(0,+\infty),$$ убывает на $$(-1,0).$$
Точка $$x=-1$$ — точка максимума, а $$x=0$$ — точка минимума.
Найдём значения функции в этих точках:
$$f(-1)=4\cdot(-1)^3+6\cdot(-1)^2=-4+6=2,$$
$$f(0)=0.$$
Значит, максимум равен $$2,$$ минимум равен $$0.$$
Для построения графика возьмём ещё несколько точек:
$$f(-2)=4\cdot(-2)^3+6\cdot(-2)^2=-32+24=-8,$$
$$f(1)=4+6=10.$$
Итак, график проходит через точки $$(-2,-8),\;(-1,2),\;(0,0),\;(1,10).$$
2) $$f(x)=3x^2-2x^3$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=3(-x)^2-2(-x)^3=3x^2+2x^3,$$
значит, функция ни чётная, ни нечётная.
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-6x^2=6x(1-x).$$
Критические точки:
$$6x(1-x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<1,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty,0)$$ и $$(1,+\infty),$$ возрастает на $$(0,1).$$
Точка $$x=0$$ — точка минимума, а $$x=1$$ — точка максимума.
Найдём значения функции в этих точках:
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=3-2=1.$$
Значит, минимум равен $$0,$$ максимум равен $$1.$$
Для построения графика возьмём ещё несколько точек:
$$f(-1)=3\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)^3=3+2=5,$$
$$f(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2^3=12-16=-4.$$
Итак, график проходит через точки $$(-1,5),\;(0,0),\;(1,1),\;(2,-4).$$
Ответ
1) $$f(x)=4x^3+6x^2$$: функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$(0,+\infty),$$ убывает на $$(-1,0);$$ максимум в точке $$(-1,2),$$ минимум в точке $$(0,0).$$
2) $$f(x)=3x^2-2x^3$$: функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$(0,1),$$ убывает на $$(-\infty,0)$$ и $$(1,+\infty);$$ минимум в точке $$(0,0),$$ максимум в точке $$(1,1).$$
