Упр.1534 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Исследовать с помощью производной функцию $$y=x^3-5x^2-x+5$$ и построить её график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4.
Найдём производную функции:
$$y=x^3-5x^2-x+5$$
$$y’=3x^2-10x-1$$
Исследуем знак производной. Решим уравнение $$3x^2-10x-1=0$$:
$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=100+12=112=16\cdot 7$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm\sqrt{112}}{6}=\frac{10\pm 4\sqrt7}{6}=\frac{5\pm 2\sqrt7}{3}$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$y’>0$$ при $$x<\frac{5-2\sqrt7}{3}$$ и $$x>\frac{5+2\sqrt7}{3},$$
$$y'<0$$ при $$\frac{5-2\sqrt7}{3}<x<\frac{5+2\sqrt7}{3}.$$
Следовательно, функция возрастает на промежутках
$$\left(-\infty,\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\cup\left(\frac{5+2\sqrt7}{3},+\infty\right),$$
и убывает на промежутке
$$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{5+2\sqrt7}{3}\right).$$
Координаты экстремумов:
$$x_{\max}=\frac{5-2\sqrt7}{3},\qquad x_{\min}=\frac{5+2\sqrt7}{3}.$$
Найдём значения функции в этих точках:
$$y\!\left(\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)=\frac{160+112\sqrt7}{27},\qquad y\!\left(\frac{5+2\sqrt7}{3}\right)=\frac{160-112\sqrt7}{27}.$$
Значит, максимум достигается в точке
$$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{160+112\sqrt7}{27}\right),$$
а минимум — в точке
$$\left(\frac{5+2\sqrt7}{3},\frac{160-112\sqrt7}{27}\right).$$
Для построения графика удобно отметить несколько точек:
$$y(-2)=-21,\quad y(-1)=0,\quad y(1)=0,\quad y(3)=-16,\quad y(5)=0.$$
Теперь найдём уравнение касательной в точке с абсциссой $$x_0=4$$.
$$y'(4)=3\cdot 4^2-10\cdot 4-1=48-40-1=7$$
$$y(4)=4^3-5\cdot 4^2-4+5=64-80-4+5=-15$$
Уравнение касательной:
$$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$$
$$y+15=7(x-4)$$
$$y=7x-43$$
Ответ
Функция возрастает на $$\left(-\infty,\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\cup\left(\frac{5+2\sqrt7}{3},+\infty\right),$$ убывает на $$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{5+2\sqrt7}{3}\right).$$
Максимум: $$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{160+112\sqrt7}{27}\right),$$ минимум: $$\left(\frac{5+2\sqrt7}{3},\frac{160-112\sqrt7}{27}\right).$$
Касательная: $$y=7x-43.$$
