Упр.1533 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Исследовать с помощью производной функцию $$y=x^3-3x+2$$ и построить её график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ох.

Функция $$y=x^3-3x+2$$ — многочлен, значит, область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$y’=(x^3-3x+2)’=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Исследуем знак производной:

$$3(x-1)(x+1)>0 \quad \Rightarrow \quad x<-1 \text{ или } x>1,$$

$$3(x-1)(x+1)<0 \quad \Rightarrow \quad -1<x<1.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty),$$ убывает на промежутке $$(-1;1).$$

Найдём значения функции в критических точках:

$$y(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)+2=-1+3+2=4,$$

$$y(1)=1^3-3\cdot1+2=1-3+2=0.$$

Значит, точка $$(-1;4)$$ — точка максимума, а точка $$(1;0)$$ — точка минимума.

Для построения графика найдём ещё несколько точек:

График функции проходит через точки $$(-2;0),$$ $$(0;2),$$ $$(2;4)$$ и имеет максимум в точке $$(-1;4)$$, минимум — в точке $$(1;0).$$

Касательная параллельна оси $$Ox$$, если $$y’=0.$$ Тогда

$$3x^2-3=0,$$

$$x^2-1=0,$$

$$x=\pm1.$$

Итак, касательные параллельны оси $$Ox$$ в точках $$(-1;4)$$ и $$(1;0).$$

Ответ

Функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty),$$ убывает на $$(-1;1).$$ Точка максимума: $$(-1;4),$$ точка минимума: $$(1;0).$$ Касательные параллельны оси $$Ox$$ в точках $$(-1;4)$$ и $$(1;0).$$