Упр.1530 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса $$R$$, выбрана призма наибольшего объёма. Найти высоту этой призмы.

Пусть $$a$$ — сторона основания, а $$h$$ — высота призмы.

Так как правильная треугольная призма вписана в сферу радиуса $$R$$, то центр сферы лежит на оси призмы, а половина высоты призмы равна расстоянию от центра сферы до основания. Тогда для радиуса сферы получаем:

$$\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2=R^2.$$

Отсюда

$$\frac{a^2}{3}+\frac{h^2}{4}=R^2,$$

$$4a^2+3h^2=12R^2,$$

$$a^2=3R^2-\frac{3h^2}{4}=\frac{3}{4}\left(4R^2-h^2\right).$$

Объём призмы:

$$V(h)=S_{\text{осн}} \cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\,h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3}{4}\left(4R^2-h^2\right)h=\frac{3\sqrt{3}}{16}\left(4R^2h-h^3\right).$$

Найдём максимум этой функции:

$$V'(h)=\frac{3\sqrt{3}}{16}\left(4R^2-3h^2\right).$$

При максимуме $$V'(h)=0$$, значит

$$4R^2-3h^2=0,$$

$$h^2=\frac{4R^2}{3},$$

$$h=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно, высота призмы наибольшего объёма равна

$$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$.