Упр.1529 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между радиусом основания и высотой расход жести будет наименьшим?

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда при заданном объёме $$V$$ имеем

$$V=\pi r^2h,$$

откуда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Площадь поверхности банки равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}.$$

При минимуме $$S'(r)=0$$, значит

$$4\pi r-\frac{2V}{r^2}=0,$$

$$4\pi r^3=2V,$$

$$r^3=\frac{V}{2\pi}.$$

Тогда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3}}=2r.$$

Следовательно, расход жести будет наименьшим, если высота цилиндра вдвое больше радиуса основания.

Ответ: $$h=2r$$.