Упр.1529 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1529 Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между радиусом основания и высотой расход жести будет наименьшим? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1529 1111

Пусть $$r$$ — радиус основания банки, $$h$$ — её высота. Тогда при заданном объёме $$V$$ имеем

$$V=\pi r^2h,$$

откуда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Площадь поверхности цилиндра равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}.$$

При минимуме $$S'(r)=0$$, значит

$$4\pi r^3-2V=0,$$

$$r^3=\frac{V}{2\pi}.$$

Тогда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3}}=2r.$$

Следовательно, расход жести будет наименьшим, если высота цилиндра вдвое больше радиуса основания.

Ответ

$$h=2r$$