Упр.1524 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1524 Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1524 1111

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, а $$h$$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в шар радиуса $$R$$, то в осевом сечении получаем прямоугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Поэтому

$$r^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2=R^2.$$

Отсюда

$$r^2=R^2-\frac{h^2}{4}.$$

Объём цилиндра равен

$$V=\pi r^2h=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)=\pi R^2h-\frac{\pi}{4}h^3.$$

Найдём максимум функции $$V(h)$$:

$$V'(h)=\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2.$$

При максимуме производная равна нулю:

$$\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2=0,$$

$$h^2=\frac{4R^2}{3},$$

$$h=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Это и есть высота цилиндра наибольшего объёма.

Ответ

$$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$