Упр.1522 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1522 Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр, если его объём равен V? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1522 1111

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда

$$V=\pi r^2h,$$

откуда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Площадь полной поверхности цилиндра равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}, \qquad r>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$4\pi r^3-2V=0,$$

$$r^3=\frac{V}{2\pi},$$

$$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$

Это и есть точка минимума, так как при переходе через неё производная меняет знак с минуса на плюс.

Найдём минимальную площадь:

$$S_{\min}=2\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2+\frac{2V}{\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}.$$

Упростим:

$$S_{\min}=2\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi^2}}+2V\sqrt[3]{\frac{2\pi}{V}}=3\sqrt[3]{2\pi V^2}.$$

Ответ

$$3\sqrt[3]{2\pi V^2}$$