Упр.1521 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм, чтобы его объём был наибольшим?

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота. Тогда по теореме Пифагора для образующей $$l=20$$ дм:

$$r^2+h^2=20^2=400,$$

откуда

$$r^2=400-h^2.$$

Объём конуса равен

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(400-h^2)h=\frac13\pi(400h-h^3).$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac13\pi(400-3h^2).$$

Для максимума объёма приравняем производную к нулю:

$$400-3h^2=0,$$

$$3h^2=400,$$

$$h^2=\frac{400}{3},$$

$$h=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}.$$

Так как при $$0<h<20$$ функция объёма сначала возрастает, а затем убывает, найденное значение даёт максимум объёма.

Ответ: $$\frac{20\sqrt3}{3}$$ дм.