Упр.1518 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1518 На координатной плоскости даны точки Л (3; -1) и D (4; -1). Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы у = 1-х2, заданной на отрезке [-1; 1]. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1518 1111

Точки основания трапеции: $$A(3;-1)$$ и $$D(4;-1).$$ Тогда длина основания

$$AD=4-3=1.$$

Пусть абсцисса одной из вершин второго основания равна $$x,$$ тогда из симметрии параболы $$y=1-x^2$$ вторая вершина имеет абсциссу $$-x.$$

Следовательно, длина второго основания:

$$BC=x-(-x)=2x.$$

Высота трапеции равна расстоянию от точки параболы до прямой $$y=-1$$:

$$h=(1-x^2)-(-1)=2-x^2.$$

Тогда площадь трапеции

$$S(x)=\frac12(AD+BC)\cdot h=\frac12(1+2x)(2-x^2).$$

Раскроем скобки:

$$S(x)=\frac12(2+4x-x^2-2x^3)=1+2x-\frac{x^2}{2}-x^3.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=2-x-3x^2.$$

Приравняем её к нулю:

$$2-x-3x^2=0$$

$$3x^2+x-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+24=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{6}.$$

Получаем

$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac23.$$

На отрезке $$[0;1]$$ подходит точка $$x=\frac23,$$ и именно в ней площадь максимальна.

Вычислим её:

$$S\left(\frac23\right)=\frac12\left(1+\frac43\right)\left(2-\frac49\right)=\frac12\cdot\frac73\cdot\frac{14}{9}=\frac{49}{27}.$$

Ответ

$$\frac{49}{27}$$