Упр.1517 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1517 На параболе у = х2 найти точку, расстояние от которой до точки А (2; 1/2) является наименьшим.

Подробный ответ

Пусть искомая точка на параболе имеет координаты $$\left(x;\,x^2\right).$$ Тогда квадрат расстояния от неё до точки $$A\left(2;\,\frac12\right)$$ равен

$$ d^2(x)=(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2. $$

Так как расстояние минимально тогда и только тогда, когда минимально его квадрат, рассмотрим функцию

$$ f(x)=(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2. $$

Найдём производную:

$$ f'(x)=2(x-2)+2\left(x^2-\frac12\right)\cdot 2x =2x-4+4x^3-2x =4x^3-4. $$

Приравняем производную к нулю:

$$ 4x^3-4=0 $$

$$ x^3=1 $$

$$ x=1. $$

Тогда

$$ y=x^2=1. $$

Следовательно, искомая точка — $$\left(1;\,1\right).$$