Упр.1514 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)=x^{-2}+\cos x$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M\left(0{,}5\pi;-\frac{2}{\pi}\right)$$.

Найдём первообразную для функции $$f(x)=x^{-2}+\cos x.$$

Интегрируем по частям слагаемые:

$$\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\frac{1}{x}, \qquad \int \cos x\,dx=\sin x.$$

Значит, общая первообразная имеет вид

$$F(x)=-\frac{1}{x}+\sin x+C.$$

Используем условие прохождения графика через точку $$M\left(0{,}5\pi;\,-\frac{2}{\pi}\right).$$ Подставим координаты точки в формулу:

$$-\frac{1}{0{,}5\pi}+\sin\frac{\pi}{2}+C=-\frac{2}{\pi}.$$

Так как $$-\frac{1}{0{,}5\pi}=-\frac{2}{\pi}$$ и $$\sin\frac{\pi}{2}=1,$$ получаем:

$$-\frac{2}{\pi}+1+C=-\frac{2}{\pi},$$

откуда

$$C=-1.$$

Следовательно, искомая первообразная:

$$F(x)=\sin x-\frac{1}{x}-1.$$

Ответ: $$F(x)=\sin x-\frac{1}{x}-1.$$