Упр.1513 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1513 В правильной четырёхугольной призме диагональ равна 2 корень 3. При какой высоте призмы её объём наибольший?

Пусть $$x$$ — сторона основания, $$h$$ — высота призмы. Тогда диагональ правильной четырёхугольной призмы удовлетворяет равенству

$$x^2+h^2=(2\sqrt{3})^2=12.$$

Отсюда

$$x^2=12-h^2.$$

Объём призмы равен

$$V=x^2h=(12-h^2)h=12h-h^3.$$

Найдём максимум функции:

$$V'(h)=12-3h^2.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$12-3h^2=0,$$

$$h^2=4,$$

$$h=2$$

так как $$h>0$$.

Следовательно, объём призмы наибольший при высоте $$h=2$$.

Ответ

$$2$$